Как было отмечено выше, $q$-анализ симплициального комплекса дает нам информацию о многомерных цепях связей симплексов, составляющих комплекс $K$. Особый интерес, однако, представляет вопрос о структуре, образуемой этими удпями. Можно представить себе комплекс $K$ в виде воображаемого многомерного швейцарского сыра с цепями $q$-свяэей, формируемыми его содержимым. В этом случае наша ядаача сводится $к$ исследованию структуры дырок в таком сыре. Изучение многомерных дырок в комплексе на языке алгебраической топологии является прерогативой теории гомологий, которая оперирует такими понятиями, как цепь, цраница, группа гомологии.

Ограничимся рассмотрением отношений между двумя конечными множествами $X$ и $Y$, а именно $\lambda \subset Y \times X$ и $\lambda^{*} \subset$ $\subset X X Y$. В этом случае оба симплициальных комплекса $\boldsymbol{K}_{v}(X ; \lambda)$ и $K_{X}(Y ; \lambda)$ имеют конечную размерность и конечное число симплексов.

Рассмотрим комплекс $K_{Y}(X ; \lambda)$ с $\operatorname{dim} K=n$. Предположим, что на $K$ задана ориентация, индуцированная упорядочением множества вершин $X$, т. е. задана нумерация верщин $\left(x_{1}, \ldots, x_{i}, \ldots, x_{k-1}, x_{k}\right)$, где $k \geqslant n$. Для любого целого числа $p$, такого, что $0 \leqslant p \leqslant n$, будем обозначать симплекс размерности $p$ через $\sigma_{p^{2}}^{i} i=1,2,3, \ldots, h_{p}$, а число всех $p$-симплексов в $K$ – через $h_{p}$.

Образуем формальные линейные суммы этих $p$-симплексов, допуская кратность для любого $\sigma_{p}$. Любую такую комбинацию назовем $p$-цепью. Обозначим семейство всех $p$-ценей через $C_{p}$, а любой элемент цепи $C_{p}$ – через $c_{p}$. Тогда тиг пичная $p$-цепь имеет вид
\[
c_{p}=m_{1} \sigma_{p}^{1}+m_{2} \sigma_{p}^{2}+\ldots+m_{h_{p}} \sigma_{p}^{h_{p}},
\]

где каждое $m_{i} \in J$, а $J$ – произвольная абелева группа. Теперь можно рассматривать множество $C_{p}$ как абелеву группу относительно операции «十» в предположении, что
\[
c_{p}+c_{p}^{\prime}=\left(m_{1}+m_{1}^{\prime}\right) \sigma_{p}^{1}+\ldots+\left(m_{h_{p}}+m_{h_{p}}^{\prime}\right) \sigma_{p}^{h_{p}} .
\]

Нулем группы является цепь $0_{p}$, у которой каждое $m_{i}=0$. Возьмем прямую сумму групп $C_{p}, p=1,2, \ldots, n$, записывая получаемую при этом группу $C$. как
\[
\text { C. }=C_{0} \oplus C_{1} \oplus C_{2} \oplus \ldots \oplus C_{n} .
\]

Любой элемент из $C$. имеет вид
\[
\text { c. }=c_{0}+c_{1}+\ldots+c_{n} .
\]

Каждой $p$-цепи ( $c_{p}$ ) сопоставим определенную ( $p-1$ )-цепь; которую обозначим как $\partial c_{p}$ и назовем границей. Определим $\partial c_{p}$ с помощью $\partial \sigma_{p}$ симплексов, линейная комбинация которых образует цепь $c_{p}$, если $c_{p}=\sum_{i} m_{i} \sigma_{p}^{i}$, то $\partial c_{p}=\sum_{i} m_{i} \partial \sigma_{p}^{i}$. Другими словами, потребуем, чтобы д был гомоморфизмом из $C_{p}$
в $C_{p-1}$. Для любого симплекса $\sigma_{p}=\left\langle x_{1} x_{2} \ldots x_{p+1}\right\rangle$ можно определить $\partial \sigma_{p}$ следующим образом:
\[
\partial \sigma_{p}=\partial\left\langle x_{1} x_{2} \ldots x_{p+1}\right\rangle=\sum_{i}(-1)^{i+1}\left\langle x_{1} x_{2} \ldots \hat{x}_{i} \ldots x_{p+1}\right\rangle,
\]

где $\hat{x}_{i}$ означает, что вершина $x_{i}$ пропущена.
Геометрическое изображение 2 -симплекса $\sigma_{2}=\left\langle x_{1} x_{2} x_{3}\right\rangle$ вместе с ориентацией и индуцированными ориентациями на ребрах дается на рис. 3.1. В этом случае
\[
\begin{aligned}
\partial \sigma_{2} & =\partial\left\langle x_{1} x_{2} x_{3}\right\rangle=(-1)^{2}\left\langle x_{2} x_{3}\right\rangle+ \\
& +(-1)^{3}\left\langle x_{1} x_{3}\right\rangle+(-1)^{4}\left\langle x_{1} x_{2}\right\rangle,
\end{aligned}
\]
т. е. $\partial \sigma_{2}=\sigma_{1}^{1}-\sigma_{1}^{2}+\sigma_{1}^{3}$, является 1 -цепью (элементом $C_{1}$ ). Границу любой цепи можно рассматривать как образ этой цепи относительно оператора $\partial$, который задает отобра: жение $\partial: C_{p} \rightarrow C_{p-1}$ для $p=$ $=1, \ldots$, n. Оператор $\partial$ не
Рис. 3.1. 2-симплекс с ориентированными гранями.

только гомоморфен (он сохраняет аддитивную структуру), но и, как легко показать, нильпотентен, так как $\partial\left(\partial c_{p}\right)=0$ в $C_{p-2}$, или, что то же самое, $\partial^{2}=0$ (тривиальное отображение).
Для случая, изображенного на рис. 3.1, имеем
\[
\begin{aligned}
\partial^{2} \sigma_{2} & =\partial\left(\partial \sigma_{2}\right)=\partial\left(\sigma_{1}^{1}-\sigma_{1}^{2}+\sigma_{1}^{3}\right)= \\
& =\partial\left\langle x_{2} x_{3}\right\rangle-\partial\left\langle x_{1} x_{3}\right\rangle+\partial\left\langle x_{1} x_{2}\right\rangle= \\
& =\left\langle x_{3}\right\rangle-\left\langle x_{2}\right\rangle-\left(\left\langle x_{3}\right\rangle-\left\langle x_{1}\right\rangle\right)+\left\langle x_{2}\right\rangle-\left\langle x_{1}\right\rangle=0 .
\end{aligned}
\]

Так как $\partial: C_{p} \rightarrow C_{p-1}$ – гомоморфизм, то образ $C_{p}$ относительно $\partial$ должен быть подгруппой $C_{p-1}$. Для обозначения этого образа будем использовать следующие символы: im $\partial$ или $B_{p-1}$, или $\partial C_{p}$. Из нильпотентности $\partial$ вытекает, что $\partial B_{p-1}=0$ в $C_{p-2}$, или, что то же самое, $\partial(\operatorname{im} \partial)=0$.

Назовем $p$-циклами те цепи $c_{p} \in C_{p}$, у которых границы исчезают (т. е. $\partial c_{p}=0$ ). Такие цепи образуют подгруппу группы $C_{p}$, обозначаемую символом $Z_{p}$ и являющуюся ядром гомоморфизма д. Очевидно, что элементы $B_{p}$, или, что то же самое, $\partial C_{p+1}$, являются циклами и, следовательно, $B_{p} \subset Z_{p}$. Фактически же $B_{p}$ является подгруппой $Z_{p}$.

Элементы $B_{p}$ называют граничными циклами (они являются циклами в обычном или тривиальном смысле). Те элементы $Z_{p}$, которые не являются элементами $B_{p}$, можно отождествить с элементами фактор-группы $Z_{p} / B_{p}$. Любой элемент этой фактор-группы имеет вид $z_{p}+B_{p}$, и если выБРать один представитель, например $z_{p}$, из этого класса эквивалентности, то его можно обозначать $\left[z_{p}\right]$. Будем говорить, что два $p$-цикла $z_{p}^{1}$ и $z_{p}^{2}$ гомологичны (часто пишут $z_{p}^{1} \sim z_{p}^{2}$ ), если $z_{p}^{1}$ и $z_{p}^{2}$ различаются только $p$-границей, т. е. $z_{p}-z_{p}^{2} \in B_{p}$. Легко показать, что таким образом задаваемое отношение на множестве циклов является эквивалентностью. Фактор-группа $Z_{p} / \sim$, построенная по отношению быть гомологичным, 一 это фактор-группа $Z_{p} / B_{p}$, групповая структура

Рис. 3.2. Действие нильпотентного оператора $\partial$ на градуированной группе Заштрихованная область, по форме напоминающая глаз быка, представляет группу $\boldsymbol{p}_{p}$, а внутреннее кольцо, окружающее эту область, – группу циклов $z_{p}$.
которой определена операцией «十» на элементах $z_{p}+B_{p}$. В этой групповой структуре множество $B_{p}$ действует как нуль, т. е.
\[
\left(z_{p}+B_{p}\right)+B_{p}=z_{p}+B_{p}
\]

для всех $z_{p}$.
Фактор-группа $Z_{p} / B_{p}$ называется $p$-группой гомологий и обозначается как
\[
H_{p}=Z_{p} / B_{p}, \quad p=0,1, \ldots, n .
\]

Если учесть, что группа $Z_{p}$ – это ядро гомоморфизма $\partial\left(Z_{p}=\right.$ $=\operatorname{ker} \partial$ ), то группу гомологии можно представить следующим образом:
\[
H_{p}=\operatorname{ker} \partial / \mathrm{im} \partial .
\]

Операция $\partial$ на градуированной группе $C$. может быть записанӑ в виде последоваєельностй
\[
G_{:}=C_{0} \oplus C_{1} \oplus C_{2} \oplus \ldots C_{p} \stackrel{\partial}{\oplus} C_{p+1} \ldots \oplus C_{n} .
\]

Схематически эта операция изображена на рис. 3.2. Когда $H_{p}=0$, фактор-группа $Z_{p} / \mathscr{B}_{p}$ имеет единственный класс эквивалентности и им является группа $B_{p}$; каждый цикл $z_{p} \in B_{p}$, т. е. каждый цикл являетея граничным. Когда же $H_{p} eq 0$, в фактор-группе существует более чем один элемент и, значит, должен быть по крайней мере один цикл, который не является граничным циклом. Для примера, изображенного на рис. 3.1 , имеем $H_{1}=0$, так как единственным 1 -циклом является комбинация $\sigma_{1}^{1}-\sigma_{1}^{2}+\sigma_{1}^{3}$ (и ее кратные), которая представляется в виде $\partial \sigma_{2}$. Поскольку $C_{3}$ тривиальна, то и $B_{2}$ тоже тривиальна, а так как $\partial \sigma_{2}
eq 0$, то и $Z_{2}$ тривиальна. В силу этих условий $H_{2}=0$. Если $H_{p}=0$, то говорят, что гомология в размерности $p$ тривиальна. Если говорят, что «гомология тривиальна» и не указывают значения $p$, то подразумевается, что $H_{p}=0$ для всех значений $p$, отличных от нуля. Эта последняя группа всегда нетривиальна, за исключением случая, когда комплекс $K$ дополнен симплексом, множество вершин которого пусто.

Можно показать, что для случая, представленного на рис. 3.1, гомология тривиальна, а $H_{0}
eq 0$. Действительно, полагая границу вершины нулевым элементом группы для любой цепи $c_{0}$ вида
\[
c_{0}=m\left\langle x_{1}\right\rangle+m_{2}\left\langle x_{2}\right\rangle+m_{3}\left\langle x_{3}\right\rangle,
\]

получим, что цепь $c_{0}$ должна быть 0 -циклом, т. е. $c_{0} \in Z_{0}$. Однако вершины $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ образуют часть линейно-связной структуры в том смысле, что существуют такие 1-цепи $c_{1}$, $c_{1}^{\prime}$, что
\[
\left\langle x_{2}\right\rangle=\left\langle x_{1}\right\rangle+\partial c_{1}, \quad\left\langle x_{3}\right\rangle=\left\langle x_{1}\right\rangle+\partial c_{1}^{\prime}
\]
(действительно, достаточно положить хотя бы $c_{1}=\sigma_{1}^{3}, c_{1}^{\prime}=\sigma_{1}^{2}$ ). В результате имеем
\[
c_{0}=z_{0}=\left(m_{1}+m_{2}+m_{3}\right)\left\langle x_{1}\right\rangle+\partial \text { (некоторой 1-цепи). }
\]

Отсюда следует, что вершина $x_{1}$ действует подобно специально выбранному 0 -циклу $z_{0}$ и все возможные 0 -циклы могут быть получены из формулы
\[
z_{0}=m z_{0}+\partial \text { (некоторой 1-цепи), }
\]

где цикл $z_{0}$, состоящий из отдельной вершины, не может быть границей какой-нибудь 1 -цепи. Следовательно, $z_{0}
otin$ $
otin B_{0}$ и $H_{0}
eq 0$. В действительности $H_{0}$ содержит единственную образующую и является аддитивной группой, изоморфной группе $J$, которая порождается одним своим элементом, а именно 1. Таким образом, для комплекса, представленного на рис. 3.1 , имеем
\[
H_{0}=\boldsymbol{J},
\]

или, используя символ изоморфизма, $H_{0} \simeq J$.

Вышеприведенные соображения показывают, что такая етруктура характерна для всех линейно-связных комплексов. Это позволяет сделать следующий вывод: если комплекс $K$ имеет $k$ связных компонент, то 0 -я группа гомологий может быть представлена в виде прямой суммы
\[
H_{0}(K)=J \oplus J \oplus \ldots \oplus J
\]

с $k$ слагаемыми. Числу $k$ в топологии соответствует нульмерное число Бетти комплекса $k$, которое обозначается как $\beta_{0}$.

Bce рассмотренные группы $C_{p}, Z_{p}, B_{p}$ являются примерами конечно порожденных свободных групп, так как между образующими любой из них не могут существовать линейные зависимости. Однако выполнение свойства «быть свободной» для фактор-группы $H_{p}$ не обязательно.

В общем случае $H_{p}$ может быть представлена как прямая сумма двух частей, из которых одна является свободной группой, а другая нет. Для пояснения этого соображения запишем $H_{p}$ в виде
\[
H_{p}=G_{p}^{0} \oplus \text { Tor } H_{p} \text {, }
\]

где $G_{p}^{0}$ – свободная группа, а Tor $H_{p}$ – подгруппа кручения группы $H_{p}$. Любой элемент $h$ группы Тor $H_{p}$ обладает тем свойством, что $n h=0$ для некоторого целого числа $n$. В терминах границ и циклов это означает, что элемент $h$ может быть записан в виде $h=z_{p}+B_{p}$ (так как $h \in H_{p}$ ), при этом существует $n$, такое, что элемент
\[
n h=n z_{p}+n B_{p}
\]

должен уже содержаться в $B_{p}$ (нуле фактор-группы). Отсюда следует, что хотя $z_{p}
otin B_{p}$, тем не менее для некоторого значения $n$ должно выполняться $n z_{p} \in B_{p}$. Такое своеобразное поведение закрученных циклов характеризуется подгруппой Тог $H_{p}$.

Элементы свободной группы $G_{p}^{0}$ не могут вести себя подобным образом: если $z_{p} \in G_{p}^{0}$ и $z_{p}
otin B_{p}$, то и $n z_{p}
otin B_{p}$ при любом ненулевом значении $n$. Группа $G_{p}^{0}$, очевидно, должна состоять из слагаемых вида $J$ (число слагаемых должно равняться числу различных образующих $G_{p}^{0}$ ), в то время как подгруппа Tor $H_{p}$ должна состоять из слагаемых вида $J_{m}$ (если $J$ – множество целевых чисел, то $J_{m}$ – группа вычетов , по модулю $m$ ) для некоторых $m$. Это пронсходит потому, что группы, подобные $J_{m}$, являются аддитивными абелевыми группами со свойством $h \in J_{m} \Longleftrightarrow m h=0$. Қаждая подгруппа группы Тоr $H_{p}$ должна быть изоморфной некоторой. $J_{m}$ для подходящего $m$. Число образующих (число свободных образующих $H_{p}$ ) называют $p$-м числом Бетти комплекса $K$ и обозначают $\boldsymbol{\beta}_{p}$.

р-ДыРы
Геометрическое изображение комплекса, имеющего тривиальную гомологическую структуру, было дано на рис. 3.1. Для этого комплекса $H_{1}=0$, так как в его состав включен треугольник $\sigma_{2}$. Если удалить внутренность треугольника $\sigma_{2}$ и оставить только его ребра, то такое изменение в строении комплекса $K$ вызывает соответствующее изменение в группе $H_{1}$. А именно, теперь $H_{1}=J$ потому, что появилась единственная образующая группы $H_{4}$ вида
\[
\sigma_{1}^{1}-\sigma_{1}^{2}+\sigma_{1}^{3} \text {, }
\]

которая является циклом, но не является границей ( $\sigma_{2}$ удален). Следовательно, факт появления дыры в $K$, ограниченной 1 -симплексами, проявляется в том, что группа $H_{1}$ приобретает единственную образующую. Такую дыру в комплексе $K$ будем называть 1 -мерной дырой. Пусть теперь комплекс $K$ состоит из двух треугольников без внутренних частей: В этом случае группа $H_{1}$ будет изоморфна прямой сумме двух групп коэффициентов $J$, т. е. $H_{1} \simeq J \oplus J$. Аналогично, если геометрическое изображение комплекса $K$ имеет одну сферическую дыру (т. е. дыру, ограниченную сферой), то получим, что $H_{2}$ обладает единственной образующей $z_{2} \in B_{2}$. Если для комплекса $K$ существует группа $H_{2}=J \oplus J$, то это означает, что $K$ имеет в точности две 2 -мерные дыры.

Нам хотелось бы особо подчеркнуть тот факт, что свободная группа $G_{p}^{0}$ интерпретируется как алгебраическое представление наличия $p$-мерных дыр в комплексе $K$. Точное число этих дыр задает $p$-е число Бетти.

Рассмотренный выше анализ $q$-связности предназначен для изучения топологической структуры пространства «между дырами воображаемого многомерного швейцарского сыра». Подгруппу кручения Тог $H_{p}$, если она нетривиальна, трудно интерпретировать в таком контексте, однако для нее можно найти другую интерпретацию.

Пример
Обозначим грани игральной кости символами $v^{1}, v^{2}, v^{3}, v^{4}$, $v^{5}, v^{6}$. Сопоставим их с вершинами некоторого 5-симплекса, а в қачестве комплекса $K$ будем рассматривать этот симплекс и все его грани, например типичная 1-грань-это $\mathbf{1}$-симплекс $\left\langle v^{i} v^{i}\right\rangle$, где $i
eq j$. Зададим индуцированную ориентацию $K$ с помощью естественного упорядочения вершин. Теперь проведем серию экспериментов, в которых игральная кость бросается до тех пор, пока не повторится одна и та же грань. (Последовательность $+\left\{v^{i}, v^{i}\right\}$ будем в алгебраических преобразованиях считать равной $-\left\{v^{j}, v^{i}\right\}$.) Любой результат серии последовательных бросаний можно рассматривать как элемент градуированной группы цепей
\[
C_{.}=C_{0} \oplus C_{1} \oplus C_{2} \oplus C_{3} \oplus C_{4} \oplus C_{5}^{\prime} .
\]

Заметим, что границей последовательности $\langle 123$ ) является 1 -цепь $\langle 12\rangle,\langle 23\rangle,\langle 31\rangle$.

Вначале предположим, что экспериментатор может наблюдать любую возможную последовательность и серии последовательностей. Следовательно, в этом случае в градуированной группе цепей каждый цикл является границей и поэтому
\[
H_{p}=0, \quad p=1,2,3,4,
\]
т. е. гомология такого комплекса $K$ тривиальна.

Теперь предположим, что экспериментатор использует помощника, который его обманывает (подделывая записи). Допустим, что в результате обмана последовательность 〈123) не встречается ни сама, ни в качестве грани какойпибо последовательности. Подобные действия помощника приводят к сильному изменению в комплексе $K$ и в связанной с ним группе цепей. Например, последовательность 〈123456> не будет встречаться, так как она содержит (1 23 ). Кроме того, в новом комплексе $K^{\prime}$ появится цикл
\[
z_{1}=\langle 12\rangle+\langle 23\rangle+\langle 31\rangle,
\]

который не является границей. Следовательно вмешательство помощника привело к возрастанию первого числа Бетти $\beta_{1}$ от 0 до 1 . Именно помощник является виновником появления дыры в комплексе; группа гомологий $H_{1}$ стала изоморфна $J$.

Изменим порядок проведения эксперимента еще раз. Предположим, что эксперимент проводят два опытных игрока. Бросая кость, они замечают, что вероятность различных последовательностей, соответствующих типичным симплексам $\sigma_{1}, \sigma_{2}, \sigma_{3}, \sigma_{4}, \sigma_{5}$, равны соответственно $5 / 6,5 / 9,5 / 18$, $5 / 54$ и $5 / 324$. Так как игроки намерены держать пари по результатам эксперимента, то они соглашаются приписать симплексам некоторые веса, которые уравнивают шансы. Это вызывает введение новых (взвешенньих) симплексов, порождающих новую группу цепей $C^{\prime}$. Новые образующие связаны со старыми следующим образом:
\[
\sigma_{1}^{\prime}=54 \quad \sigma_{1} ; \quad \sigma_{2}^{\prime}=36 \quad \sigma_{2} ; \quad \sigma_{3}^{\prime}=18 \quad \sigma_{3} ; \quad \sigma_{4}^{\prime}=6 \quad \sigma_{4} ; \quad \sigma_{3}^{\prime}=\sigma_{5} .
\]

Теперь гомологии комплекса изменятся еще больше; например элемент
\[
54(\langle 12\rangle+\langle 23\rangle+\langle 31\rangle)
\]

находится в $Z_{1}^{\prime}$, но не является элементом группы $B_{1}^{\prime}$, так как последняя состоит из элементов кратных $108 \sum_{i} \sigma_{1}^{z}$ ( 108 – наименьшее общее кратное чисел 36 и 54). Отсюда получаем, что в $Z_{1}^{\prime}$ существует цикл $z_{1}$, такой, что $z_{1}
otin B_{1}^{\prime}$, а $2 z_{1} \in B_{1}^{\prime}$. Это вносит в группу гомологий $H_{1}$ слагаемое, равное $J_{2}$, а группа кручения Тог $H_{1}$ становится нетривнальной. В действительности
\[
H_{1}=J_{2} \oplus J_{2} \oplus \ldots \oplus J_{2}
\]

где число слагаемых в сумме равно десяти. Остальные $H_{p}$ при этом не изменились, $H_{p}=0, p \doteq 2,3,4$.

Комплекс игроков уже обладает кручением, что и отразнлось в изменении $H_{1}$. Теперь становится ясно, что кручение может быть введено в $H(K)$ разными путями, которые могут давать различные слагаемые $J_{m}$ в зависимости от изменения кратности выхода эксперимента. Например, введение $\sigma_{1}^{\prime}=$ $=48 \sigma_{1}$ вызывает появление десяти слагаемых $J_{3}$, при этом
\[
H_{1}=\boldsymbol{J}_{3} \oplus J_{3} \oplus \ldots \oplus J_{3} .
\]