8.8.4. Однородные функции.

Введем в рассмотрение так называемые однородные функции. Пусть задан вектор , где  - произвольные числа. Функция , заданная на , называется -однородной степени ,  если для всякого  и любых  выполняется равенство:

,           (10)

где .

Если , то  называется просто однородной функцией степени . Ниже будем считать, что частные производные   непрерывны в .

Т е о р е м а  3. Для того чтобы функция была -однородной степени , необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство

.         (11)

Если функция  однородная степени , то мы получаем известную теорему Эйлера.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть  является -однородной функцией  степени ; тогда, дифференцируя тождество (10) по  как сложную функцию, получим

.

Полагая в этом равенстве , получаем равенство (11).

Д о с т а т о ч н о с т ь.  Пусть теперь имеет место равенство (11). Зафиксируем точку  и составим функцию

.                          (12)

Дифференцируя эту функцию по , находим:

.

Последнее равенство имеет место в силу (11) для точки .

Таким образом,  и . Постоянную  находим из условия, что  при  . Значит, из (12) имеем

т. е. функция  является -однородной степени .