§ 9.11. Степенные ряды

Ряд вида

,                      (1)

где  - постоянные числа, а  - переменная, называется степенным рядом. При этом  и  могут быть комплексными, мы так и будем считать в дальнейшем, иногда только переходя в область действительного переменного. Буква  будет обозначать, вообще говоря, комплексное переменное число (точку комплексной плоскости), а буква  - действительное переменное число (точку действительной оси ).

В теории степенных рядов центральное место занимает следующая основная теорема.

Т е о р е м а  1 (о с н о в н а я). Для степенного ряда (1) существует неотрицательное число , конечное или бесконечное , обладающее следующими свойствами:

1) Ряд сходится и притом абсолютно в открытом круге комплексной плоскости  и расходится в точках  с .

2) Число  определяется по формуле

,                                   (2)

где в знаменателе стоит верхний предел (см. § 2.10).

Мы позволяем себе при этом считать, что

.

Таким образом, если указанный верхний предел равен 0, то , если же он равен , то .

Открытый круг  называется кругом сходимости степенного ряда. При  он превращается во всю комплексную плоскость. При  степенной ряд имеет только одну точку сходимости, именно точку ;  называют радиусом сходимости ряда (1).

З а м е ч а н и е   1. Число , удовлетворяющее утверждению 1) теоремы 1, очевидно, единственно.

З а м е ч а н и е  2. Если для степенного ряда (1) существует обычный предел , то он равен верхнему пределу . Поэтому

.

Читатель, не ознакомившийся с понятиями верхнего предела, может проследить за ходом доказательства теоремы 1, предположив, что для рассматриваемого степенного ряда указанный предел существует. В этом случае всюду в производимых ниже рассуждениях надо заменить  на .

Д о к а з а т е л ь с т в о   т е о р е м ы   1. Пусть число  определяется по формуле (2). В точке  степенной ряд сходится. Будем далее считать, что . Наряду с рядом (1) введем второй ряд, составленный из его модулей,

.                           (1’)

Общий член ряда (1’) обозначим через

.                  (3)

Согласно обобщенному признаку Коши сходимости ряда (см. § 9.4, теорема 3, в)),

и при этом переменная  неограниченна, но

.

Здесь мы вынесли за знак верхнего предела конечное число .

Из сказанного следует: если , т. е. , то ряд (1’) сходится, а вместе с ним сходится, и притом абсолютно,  ряд (1); если же , т. е. , то ряд (1’) расходится и его общий член  неограничен, поэтому общий член ряда (1)  не стремится к нулю при  и для него не выполняется необходимый признак (см. § 9.1). Это показывает, что ряд (1) расходится.

Итак, мы доказали, что определяемое из равенства (2) число  обладает следующим свойством:

Основная теорема доказана.

Будем в дальнейшем для краткости обозначать через  замкнутый круг  комплексной плоскости.

Заметим, что степенной ряд сходится на открытом круге , вообще говоря, неравномерно. Однако верна следующая теорема.

Т е о р е м а   2. Степенной ряд (1) абсолютно и равномерно сходится на любом круге , где , а  - радиус сходимости ряда (1).

Д о к а з а т е л ь с т в о. В самом деле, пусть , тогда  есть действительная, т. е. лежащая на оси  точка, принадлежащая открытому кругу сходимости ряда (1). Поэтому в этой точке наш степенной ряд абсолютно сходится, т. е.

.

С другой стороны, для , имеем

.

Так как правые части этих неравенств не зависят от  и ряд, составленный из правых частей, сходится, то по признаку Вейерштрасса (см. § 9.8, теорема 1) степенной ряд (1) сходится на  абсолютно и равномерно.

Т е о р е м а   3. Сумма

.

степенного ряда есть непрерывная функция на его открытом круге сходимости .

В самом деле, члены нашего ряда – непрерывные функции от , а сам ряд равномерно сходится на круге , . Следовательно, по известной теореме из теории равномерно сходящихся рядов (см. § 9.8, теорема 2) сумма ряда  есть непрерывная функция на , но тогда и на всем круге , потому что  произвольно.

Для вычисления радиуса сходимости степенного ряда в нашем распоряжении имеется формула (2), но часто на практике при вычислении  удобно бывает воспользоваться признаком Даламбера.

Пусть существует предел (конечный или бесконечный)

,                                          (4)

который мы пока обозначим через . Тогда (см. (3))

и, согласно признаку Даламбера (§ 9.4, теорема 2), если , то ряд (1’), а вместе с ним и ряд (1), сходится, если же , то  и ряд (1) расходится. Но число  с такими свойствами может быть только единственным, поэтому  (см. теорему 1).

Итак, мы доказали, что если существует предел (4), то он равен :

,                                           (5)

где  - радиус сходимости степенного ряда (1).

Заметим, что мы окольным путем доказали, что если предел (4) (конечный или бесконечный) существует, то он равен верхнему пределу .

З а м е ч а н и е  3. В нашей учебной литературе обычно начинают изложение теории степенных рядов с теоремы Абеля, которая гласит:

Теорема Абеля. Если степенной ряд (1) сходится в точке  комплексной плоскости, то он сходится абсолютно и равномерно в замкнутом круге , где  - любое число, удовлетворяющее неравенствам .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Эта теорема теперь уже является следствием из теорем 1 и 2. В самом деле, так как  есть точка сходимости ряда (1), то  не может быть большим, чем . Поэтому  и . Но тогда по теореме 2 степенной ряд (1) сходится на круге  абсолютно и равномерно.

П р и м е р ы.

,                                             (6)

,                (7)

.                          (8)

С помощью формулы (2) или (5) заключаем, что радиус сходимости рядов (6) и (7) равен 1; для ряда (8) он равен 0.

Сумма ряда (6) (геометрическая прогрессия) в открытом круге  равна , а остаток

.

Однако сходимость на указанном круге неравномерна. Неравномерность сходимости имеет  место уже для положительных  на интервале ; неравенство

                                               (9)

при любом заданном  нельзя удовлетворить для всех указанных .

Ведь если  взять очень близким к 1, то числитель в правой части будет тоже близок к 1, а знаменатель близок к нулю и дробь в правой части (9) можно, таким образом, сделать большей чем .

Ряд (7) при  равномерно сходится на замкнутом круге  его сходимости, так как при

.

Если , то в точке , лежащей на границе круга сходимости, ряд (7) расходится.

Ряд (8) сходится только в точке .