§ 1.6. Определение арифметических действий

1.6.1. Общие соображения

Для действительных чисел можно определить арифметические действия – сложение, вычитание, умножение и деление. Как это делается, можно узнать из приводимых ниже мелким шрифтом рассуждений. Читатель, который найдет нужным познакомиться с этими рассуждениями, увидит, что арифметические действия над бесконечными дробями сопряжены с необходимостью совершать некоторые бесконечные процессы. На практике арифметические действия над действительными числами производятся приближенно.

На этом пути возможны и формальные определения этих действий. Об этом будет идти речь в § 1.8.

В следующем параграфе перечисляются свойства действительных чисел, вытекающие из сделанных определений. Мы формулируем эти свойства. Их можно доказать, но мы доказываем их лишь в отдельных случаях (полное доказательство см., например, в учебнике С. М. Никольского «Математический анализ», т. I, гл. 2). Эти свойства собраны в пять групп (I – V). Первые три из них содержат элементарные свойства, которыми мы руководствуемся при арифметических вычислениях и решении неравенств. Группа IV составляет одно свойство (Архимеда). Наконец, группа V также состоит из одного свойства. Это свойство формулируется на языке пределов. Оно будет доказано, но позже – в § 2.5.