§ 4.13. Раскрытие неопределенностей
Будем говорить,
что отношение 
представляет
собой неопределенность вида 
при 
, если 
. Раскрыть эту неопределенность – это
значит найти 
,
если он существует.
Т е о р е м а
1. Пусть 
и
определены
и дифференцируемы в окрестности точки 
, за исключением, быть может, самой
точки 
, , и 
в этой окрестности.
Тогда, если существует 
, то существует и имеет место равенство
(1)
Д о к а з а т е
л ь с т в о. Будем считать, что - конечное число. (В случае 
см. ниже замечание
3.) Доопределим функции 
и 
в точке 
, полагая 
. Тогда эти функции будут
непрерывны в точке . Рассмотрим отрезок 
, где 
или 
(см. замечание 5 §
4.12). На 
функции
и непрерывны, а на 
дифференцируемы,
поэтому по теореме Коши существует точка 
такая, что
или 
.
Когда , то и 
, поэтому в силу
условия теоремы мы имеем
(2)
при условии, что предел в правой
части равенства существует.
Этим теорема
доказана.
З а м е ч а н и
е 1. Если предел справа в (1) не существует, то предел слева может
существовать.
П р и м е р
1. Так как 
,
то
.
Однако
не существует.
З а м е ч а н и
е 2. Если выражение 
представляет неопределенность вида и функции 
, 
удовлетворяют
условию теоремы 1, то
.
При этом эти равенства надо
понимать в том смысле, что если существует третий предел, то существует и
второй и первый.
Т е о р е м а
2 
. Пусть
и 
определены и
дифференцируемы в окрестности точки 
, 
, и 
в этой окрестности, тогда, если
, то 
и
.
Доказательство этой теоремы мы не
приводим.
З а м е ч а н и е 3. Если 
, то замена 
сводит дело к 
:
.
Выражаемые
теоремами 1, 2 правила, в силу которых вычисление предела отношения функций
может быть сведено к вычислению предела отношения их производных, называют правилами
Лопиталя, по имени математика, который сформулировал это правило, правда,
для весьма простых случаев. Впрочем, это правило было известно И. Бернулли до
Лопиталя.
П р и м е р 2.
.
Здесь мы имеем неопределенность
вида 
.
Применяя правило Лопиталя 
раз (
, при 
натуральном 
), получим
.
П р и м е р 3.
.
Функции 
и 
удовлетворяют всем условиям
теоремы 2, поэтому
.
Кроме
рассмотренных неопределенностей, встречаются неопределенности вида 
, 
, определение
которых очевидно. Эти неопределенности сводятся к неопределенностям или 
алгебраическими
преобразованиями.
а. Неопределенность 
. Ясно, что
или 
.
П р и м е р 4.
;
.
б. Неопределенности вида 
для выражения 
сводятся к
неопределенности .
Согласно определению этой функции 
.
Если
,
то
.
в. Неопределенность 
. Легко видеть, что
.
