4.7.3. Приближенное выражение приращения функции.

Если функция  дифференцируема в точке , то на основании формулы (1) ее приращение, соответствующее приращению , можно записать следующим образом:

.

Отсюда следует, что дифференциал функции при достаточно малых  может служить хорошим приближением приращения функции. В этом смысле пишут приближенное равенство

,                                                    (7)

которым широко пользуются.

Пусть надо вычислить значение функции  в точке , т. е. число . Однако появилась необходимость заменить  его приближенным значением :

.

Возникает приближенное равенство

.

Его абсолютная погрешность равна

.

Если функция  дифференцируема в точке , то из формулы (7) следует, что при малых  можно считать, что абсолютная погрешность рассматриваемого приближения равна приближению абсолютной величине дифференциала функции:

,

вычисленного для соответствующего приращения .

Относительная же погрешность приближенно выражается следующим образом:

.

П р и м е р  1. Если считать, что

,

то погрешность приближенно равна дифференциалу функции  в точке , соответствующему приращению :

.

Вопрос о том, насколько точны эти наши рассуждения, может быть решен методами, которые мы будем еще изучать (см. § 4.14).