§ 5.2. Методы интегрирования

Основную роль в интегральном исчислении играет формула замены переменных (или подстановки)

.    (1)

В этой формуле предполагается, что  есть непрерывно дифференцируемая (имеющая непрерывную производную) функция на некотором интервале изменения , а  - непрерывная функция на соответствующем интервале или отрезке оси . Первое равенство (1) утверждает, что левая его часть тождественно равна правой, если в ней (после интегрирования!) сделать подстановку  и подобрать соответствующую константу . Докажем это утверждение. Слева в (1) стоит функция, которая является первообразной от . Ее производная по  равна

.

Следовательно, если ввести в этой функции подстановку , то получится первообразная от функции .  Интеграл же справа есть, по определению, некоторая первообразная от . Но две первообразные для одной и той же функции отличаются на некоторую постоянную . Это и записано в виде первого равенства (1). Что касается второго, то оно носит формальный характер – мы просто уславливаемся писать

.                                        (2)

Например,

.    (3)

Первое равенство написано в силу  § 5.1, второе в силу (2), третье – в силу (1) (постоянная изменилась) и четвертое – в силу формулы из таблицы (постоянная изменилась). Однако в практике вычислений в членах, содержащих неопределенный интеграл, константы  не пишут, и тогда цепочка (3) упрощается:

,

к тому же мы опустили очевидные 3-е и 4-е равенства.

Вот еще пример: . Такого интеграла нет в таблице. Если положить , то  и . Следовательно,

.

Но , поэтому

.

Итак

.

Приведем еще примеры, которые все равно нам понадобятся в теории интегрирования рациональных дробей:

;    (4)

 ;              (5)

;

;   (6)

;

;

 (далее см. (6)).      (7)

Для теории интегрирования рациональных дробей важно, что вычисление интегралов типа (4) – (7), где , , , ,  - константы, приводит к элементарным функциям (рациональным,  и ).

Перейдем к формуле интегрирования по частям:

                       (8)

или, что все равно,

.

Так как в (8) справа есть неопределенный интеграл, то постоянную  обычно опускают.

В данной формуле предполагается, что  и  - непрерывно дифференцируемые функции. Справедливость формулы (8) вытекает из того факта, что производные от левой и правой частей равны:

.

Формула (8) сводит вычисления интеграла  к вычислению интеграла . Вычисление по формуле (8) носит название метода интегрирования по частям.

П р и м е р   1. Вычислить . Положим

Тогда

.

П р и м е р   2. Вычислить интегралы  ,  , где ,  - постоянные числа. В данном случае подынтегральное выражение можно представить в виде произведения   и  двояким образом: ,  или , .

Итак, пусть

Тогда по правилу интегрирования по частям имеем

.   (9)

К интегралу  снова применим метод интегрирования по частям, полагая , . Тогда

                              (10)

Из (9) и (10) получаем систему для определения  и

Решая эту систему, получим

.

П р и м е р  3.  Вычислить интеграл . Полагая , , получим

.

П р и м е р  4.  Приведем еще пример, который будет нужен для теории интегрирования рациональных дробей. Пусть  - натуральное и ; тогда

,

откуда

.

Теперь (если ) к интегралу в правой части можно применить тот же процесс, приводящий к понижению на единицу показателя степени в знаменателе подынтегральной дроби. В конце концов, к интегралу от (приводящему к ).

Таким образом, при  и натуральном  интеграл

            (11)

берется в элементарных функциях.

П р и м е р   5. Вычислить интегралы

,

где  - алгебраический многочлен степени .

Данные интегралы вычисляются -кратным применением метода интегрирования по частям, последовательно полагая , затем . Получающиеся интегралы будут упрощаться, так как производная от алгебраического многочлена  будет алгебраическим многочленом степени, на единицу меньшей.

Так как характер первообразной для рассматриваемых здесь функций легко угадывается, то эти интегралы можно вычислять так называемым методом неопределенных коэффициентов.

Например, для  первообразная имеет вид , где ,  - пока неизвестные коэффициенты. Эти коэффициенты мы находим из условия, что

   или   .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , мы и найдем все числа . Этот способ называется методом неопределенных коэффициентов. Здесь мы воспользовались тем фактом, что два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при соответствующих степенях  (см. § 4.14, теорема 2).

Проиллюстрируем сказанное на конкретном примере:

.

В данном случае

,

где коэффициенты  надо найти. Имеем

,

откуда .  Так как это равенство должно быть верно для всех , то коэффициенты при одинаковых степенях  в левой и правой его части равны между собой (§ 4.14, (15)):  . Таким образом,

.