§ 5.5. Действительный многочлен n-й степени

Многочлен

                                (1)

называется действительным, если его коэффициенты  - действительные числа. Это название объясняется тем, что действительный многочлен, если его рассматривать только для действительной переменной , принимает действительные значения. Конечно, для комплексных  действительный многочлен принимает, вообще говоря, комплексные значения.

Л е м м а. Для действительного многочлена  имеет место равенство

.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Наши рассуждения будут базироваться на равенствах (8) § 5.3 и том факте, что для действительных  имеет место . Имеем

,      (2)

что и требовалось.

Т е о р е м а  1. Если  есть комплексный корень -й кратности действительного многочлена , то  есть тоже корень  и той же кратности, и тогда

,                       (3)

где  - действительный многочлен степени , не равный нулю при  и .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть  есть корень . Тогда  - тоже корень , потому что в силу (2)  . Числа  и  не равны друг другу и  делится на

,                    (4)

т. е. на действительный многочлен второй степени. Таким образом,

,

где  - многочлен степени , очевидно, действительный. Ведь частное от деления действительных многочленов есть действительный многочлен.

Если  - корень  кратности  и , то  - корень  кратности , поэтому, повторяя наши рассуждения в отношении , можно из  него выделить множитель (4). Второй же множитель будет действительный многочлен  степени . Повторив этот процесс  раз, получим представление  в виде (3), где  - действительный многочлен степени , обладающий свойством . Но тогда и . Ведь если  бы  был корнем действительного многочлена , то неминуемо  тоже был бы корнем этого многочлена.

З а д а ч а. Доказать, что многочлен  имеет не менее трех действительных корней.

Т е о р е м а  2. Действительный многочлен  со старшим коэффициентом  может быть представлен в виде произведения

,               (5)

где , ,  - действительные корни  кратностей соответственно , а  - попарно сопряженные комплексные корни  кратностей соответственно .

З а м е ч а н и е. Действительные многочлены второй степени, входящие в произведение (5) можно преобразовать так:

,

.

Поэтому формулу (5) можно записать еще в следующем виде:

,     (5’)

где  - действительные многочлены второй степени, имеющие комплексные корни .

Д о к а з а т е л ь с т в о. На основании формулы (3) § 5.4

,

где  - действительный многочлен степени . Если , то, очевидно,  в общем случае применяем последовательно теорему 1 к комплексным корням .

Отметим, что основная теорема доказывает только существование корня (вообще комплексного) у многочлена -й степени, не давая эффективных методов нахождения его в общем случае. Впрочем, доказательство этой теоремы проводится методами математического анализа, а не алгебры. Мы не доказываем здесь эту теорему. Она связана органически с теорией функций комплексного переменного.

Существуют формулы решения общих уравнений второй, третьей и четвертой степеней.  Для уравнений степени  таких формул нет. Абель доказал, что они не могут существовать. Это надо понимать в том смысле, что при  корни уравнения   не выражаются через коэффициенты  посредством функций от этих коэффициентов, представляющих собой результат конечного числа операций только следующего вида: сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения корня.