§ 8.10. Формула Тейлора

Ограничимся рассмотрением функции от двух переменных. Пусть  имеет в окрестности точки  непрерывные производные всех порядков до -го включительно. Возьмем в этой окрестности точку . Соединим точки  и  отрезком прямой, уравнение которого можно записать в параметрической форме следующим образом:

.

Тогда вдоль этого отрезка наша функция  будет функцией от одного переменного

 .                 (1)

Легко видеть, что разность

.       (2)

Формула Маклорена для функции  в окрестности точки  имеет вид

.

Полагая , получим

.                 (3)

Вычислим производные функции  через . Из соотношения (1) имеем

.

откуда при  получаем

.

Совершенно аналогично

.

Продолжая этот процесс, получим

.

В силу этого из (2) и (3) имеем

.   (4)

Формула (4) называется формулой Тейлора для функции . По внешнему виду она такая же, как и для функции от одного переменного, но в развернутом виде она гораздо сложнее.

Для случая функции от  переменных  формула Тейлора записывается в том же виде (4).

При  формула Тейлора для функции  от  переменных имеет вид

,

где символ  означает, что функция в скобках вычисляется в точке . Эта формула представляет собой обобщение теоремы Лагранжа о среднем на многомерный случай.

При  и  формула (4) в развернутом виде записывается так:

.

При  и произвольном  формула (4) выглядит следующим образом:

где  .