§ 5.6. Интегрирование рациональных выражений
Отношение двух алгебраических многочленов
,
(1)
,
,
, называется рациональной функцией и
еще рациональной дробью.
Будем считать, что рациональная
дробь 
действительная,
т. е. 
и
-
действительные многочлены. Кроме того, будем считать, что 
- действительная переменная.
Рациональные функции вида
(2)
где 
, 
, 
, 
- действительные числа, 
- натуральное число,
а трехчлен 
не
имеет действительных корней, будем называть простейшими дробями.
В § 5.2. мы показали, как
вычисляются интегралы от простейших дробей (см. (4), (5), (6), (7), (11), §
5.2).
Пусть надо найти неопределенный
интеграл от рациональной функции 
(см. (1)). Если 
, то простым делением
выделяем из целую
часть:
.
Интегрирование многочлена не
представляет труда, и трудность свелась к интегрированию рациональной дроби, у
которой степень числителя меньше степени знаменателя.
Будем поэтому считать, что наша
рациональная дробь правильная, т. е. степень ее
числителя меньше степени знаменателя 
.
Т е о р е м а 2. Пусть
знаменатель правильной действительной рациональной дроби разложен по формуле (5’)
§ 5.5:
.
Тогда дробь (1) можно
представить, и притом единственным образом, в виде следующей суммы простейших
дробей:
(3)
где , , 
(с соответствующими индексами)
– постоянные числа.
Эта теорема
утверждает, что для любой правильной рациональной действительной дроби существуют
постоянные числа ,
, с указанными
индексами так, что имеет место тождество (3) для всех , исключая значения 
, для которых обе
части (3) не определены. Эту теорему можно аккуратно доказать, но мы здесь ее
доказывать не будем.
Поясним
формулировку теоремы 1 на примере. Согласно теореме 1 имеет место равенство
, (4)
где 
, 
, 
, 
- вполне определенные постоянные
числа. Чтобы найти их, приводим (4) к общему знаменателю и приравниваем
числители левой и правой частей:
.
(5)
Раскрывая скобки в правой части
(5), группируем члены с одинаковыми степенями и приравниваем коэффициенты при
одинаковых степенях обеих частей (см. § 4.14, теорема 2);
(6)
Мы получили четыре линейных
уравнения с четырьмя неизвестными , , , . Эта система по теореме 1 имеет
решение и притом единственное. Решая систему (6) получим 
, 
, 
, и потому
. (7)
В общем случае, если мы нашли
коэффициенты 
в
(3), для интегрирования дроби 
у нас все готово: неопределенный
интеграл от левой части (3) равен сумме неопределенных интегралов от всех
членов правой плюс некоторая постоянная . Выше уже было отмечено, что интегралы
от любого из членов (3) мы умеем вычислять.
В случае примера (7)
.
З а м е ч а н и е 1. Равенство
(5) верно для любого 
. Но оно тогда верно и при 
, потому что слева и
справа в (5) стоят непрерывные функции от . Подставив в (5) , получим 
, т. е. и, положив 
, получим 
, т. е. 
. Эти данные 
сильно упрощают
систему (6). На практике подобными соображениями не надо пренебрегать.
З а м е ч а н и е 2.
Принципиально всякая рациональная функция интегрируется в элементарных
функциях. Практически полное интегрирование (1) можно довести до конца в
случае, если известны все корни и их кратности. Но мы уже говорили в §
5.5, что это не всегда удается узнать. В связи с этим всякого рода упрощения
интеграла от рациональной дроби (1) являются очень ценными.
С этой точки зрения заслуживает
большого внимания метод Остроградского, обычно излагаемый в более полных учебниках.
