1.6.3. Определение арифметических действий.
Теперь у нас
есть возможность дать определение арифметических действий над действительными
числами.
Для
произвольного числа 
введем его 
-ю срезку 
- конечную
десятичную дробь. Мы считаем, что операция с конечными десятичными дробями
читателю известны.
Зададим два
положительных числа
,
разложенные в бесконечные
десятичные дроби. Введем последовательность чисел
.
Очевидно, эта последовательность
не убывает, кроме того, она ограничена сверху:
.
Но тогда, на
основании леммы 2 десятичные разложения нашей последовательности
стабилизируются к некоторой десятичной дроби – действительному числу - 
. Это число и
называется по определению суммой чисел 
и 
:
.
Итак, мы
определяем сумму 
как число, к которому стабилизируется 
:
(10)
Чтобы
определить произведение положительных чисел и , вводим срезку
(11)
- конечную десятичную дробь.
Последовательность этих срезок, очевидно, не убывает (при возрастании 
) и
ограничена сверху:
.
Поэтому по
лемме 2 выражение (11) стабилизируется к некоторому числу, которое и называется
произведением 
:
.
Отметим
неравенства
,
т. е.
.
Величина 
приближается к (при возрастании 
), не убывая. Что же
касается величины 
,
то она приближается к , не возрастая:
.
Это
обстоятельство будет использовано при определении разности и частного
положительных чисел.
Если 
, то разность 
определяется как
десятичная дробь (число), к которой стабилизируется последовательность конечных
десятичных дробей:
;
(12)
если 
, то частное 
определяется как
десятичная дробь, к которой стабилизируется последовательность конечных дробей:
.
(13)
Надо учесть,
что 
при
возрастании не
убывает, а 
не
возрастает, и потому выражения слева в (12), (13) не убывают. Кроме того они
ограничены сверху:
,
,
где 
таково, что 
. Поэтому по лемме 2 выражения
слева в (12) и (13) действительно стабилизируются.
Положим еще
. (14)
Мы определили
для неотрицательных чисел 
их сумму, разность, произведение и
частное, предполагая в случае разности, что 
, и в случае частного, что 
. Эти определения
распространяются обычными способами на числа и произвольных знаков. Например, если 
, то полагаем 
. Если же и - числа разных знаков
и 
, то
полагаем 
,
где выбирается знак, одинаковый со знаком . В частности, имеет место
для любого .
Подобные
правила можно было бы привести для остальных арифметических действий, но в этом
нет необходимости – они хорошо известны из курса алгебры.
