§ 2.8. Точные верхняя и нижняя грани множества

Рассмотрим произвольное множество  действительных чисел . Может случиться, что в нем имеется наибольшее (максимальное) число, которое мы обозначим через . В этом случае пишут

.

Может случиться, что среди чисел   имеется наименьшее (минимальное), равное числу . Тогда пишут

.

Если множество  конечно, т. е. состоит из конечного числа чисел

,

то среди них всегда есть наибольшее и наименьшее.

Однако это не всегда так, если  - бесконечное множество.

Приведем примеры:

1)  ,

2)  ,

3)  ,

4)  ,

5)  ,

6)  .

Множество  не имеет наибольшего и наименьшего чисел. Интервал  тоже не имеет наибольшего и наименьшего чисел. При этом здесь не имеет значения, будут ли числа  конечными или бесконечными. Каково бы ни было число , т. е. число, удовлетворяющее неравенствам , всегда найдутся числа , ; такие, что .

Множество  не имеет наибольшего элемента, но имеет наименьший . Множество  имеет наибольший элемент  , но не имеет наименьшего.

Очевидно также ,  , , однако максимального числа в  нет.

Возникает вопрос о введении для произвольного множества  чисел, которые по возможности заменяли бы  и . Такими числами (конечными или бесконечными) являются точная верхняя грань

и точная нижняя грань

множества.

Пусть множество  ограничено сверху.

Число  (конечное) называется точной верхней гранью множества , если для него выполняются два условия:

1) ,

2) для любого  существует точка   такая, что выполняются неравенства

.

Говоря другими словами,  есть наименьшая из верхних границ (мажорант).

Пусть множество   ограничено снизу.

Число  (конечное) называется точной нижней гранью множества , если для него выполняются два условия:

1) ,

2) для любого  существует точка   такая, что

,

т. е.  есть наибольшая из нижних границ.

Очевидно, если в множестве  действительных чисел имеется наибольшее (наименьшее) число, т. е. существует , то

.

,  - сокращения латинских слов supremum – наивысший, infimum – наинизший.

Эта терминология не совсем не совсем удачна, потому что, например,  не всегда есть наивысший элемент в множестве .

П р и м е р 1. Множество

имеет наименьшее число, равное . Однако оно не имеет наибольшего, потому что . Все же оно ограничено сверху числом 1 или любым числом, большим 1. Но число 1 играет исключительную роль – оно есть точная верхняя грань  .

В самом деле:

1) ,

2) для   .

Мы дали определение точной верхней (нижней) грани для множества, ограниченного сверху (снизу).

Если множество  не ограничено сверху (снизу), то его точной верхней (нижней) гранью естественно назвать символ :  (соответственно ).

Иногда, когда нет опасности путаницы, вместо  пишут  .

П р и м е р ы. Для множеств 1) – 6), приведенных выше, имеет место

где  и  могут быть конечными и бесконечными числами.

Можно дать общее определение точной верхней (нижней) грани множества, которое годится для любого множества (ограниченного и неограниченного).

Число  (соответственно ), конечное или бесконечное, называется точной верхней (нижней) гранью множества  (рис. 9 и 10), если выполняются условия:

1) ;

2) для любого (конечного!)  существует  такое, что .

Рис. 9                                                  Рис. 10

В этой формулировке не приходится употреблять разность  (сумму ), это не имеет смысла при  .

Справедлива теорема принципиального значения.

Т е о р е м а 1. Если не пустое множество  действительных чисел ограничено сверху (снизу) конечным числом  (соответственно ), то существует число , являющееся точной верхней (нижней) гранью .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как  - не пустое множество, то оно содержит в себе по крайней мере одну точку . Рассмотрим отрезок , где .

По условию правее  нет точек  . Разделим  на две равные части (два отрезка) и обозначим через  самую правую половину, содержащую в себе хотя бы одну точку . Это надо понимать в том смысле, что если обе половины содержат в себе точки , то  есть правая из них, а если только одна из них содержит точки , то именно она обозначается через  .

Обозначим через  какую-либо точку из , принадлежащую к . Таким образом, , но правее  нет точек . Делим теперь  на два равных отрезка и обозначаем через  самый правый из них, содержащий в себе хотя бы одну точку , которую обозначим через . Правее  нет точек  .

Продолжив этот процесс по индукции по индукции, получим последовательность вложенных отрезков  , длины которых

.

При этом при любом  правее  нет точек , но  содержит в себе некоторую точку .

На основании принципа вложенных отрезков существует единственная точка, которую мы обозначим через  , принадлежащая ко всем отрезкам   .

Докажем, что

                                      (1)

В самом деле:

1) имеет место неравенство , потому что для любой точки  найдется отрезок   длины, меньшей, чем  . Так как он содержит в себе точку  , то точка  необходимо находится правее , но тогда , потому что правее  нет точек .

2) для любого  

.                                  (2)

Ведь любой отрезок   длины меньшей, чем , расположен правее точки  и содержит в себе точку , которую и можно считать точкой   .

Соответствующая теорема, утверждающая существование точной нижней грани у ограниченного снизу множества , доказывается аналогично, отправляясь от сегмента  , содержащего в себе некоторую точку  такого, что  и  . Делим   на два равных отрезка и через  обозначаем теперь самую левую половинку, содержащую в себе точки , находим в  точку   и продолжаем далее этот процесс по индукции.

Сказанное выше приводит нас к следующему утверждению: всякое множество  имеет точные верхнюю и нижнюю грани. Если  ограничено сверху, то , если же   не ограничено сверху, то . Аналогично, если  ограничено снизу, то , и если  не ограничено снизу, то .

З а д а ч и.

1. Пусть даны множества действительных чисел  , . Под множеством  будем понимать всевозможные суммы чисел  и . Доказать, что

.

2. Под множеством  будем понимать всевозможные произведения неотрицательных чисел  и . Доказать, что

.

3. Доказать, что

.