§ 8.7. Касательная плоскость. Геометрический смысл дифференциала

Пусть задана поверхность , описываемая функцией

,                                       (1)

имеющей непрерывные частные производные на некоторой области плоскости  (можно считать, что  дифференцируема в каждой точке области).

Касательной плоскостью к поверхности  в ее точке ,  называется плоскость, имеющая уравнение

,                 (2)

где  - текущие координаты, а ,  - значения частных производных от  в точке .

Обозначим плоскость (2) через . Она проходит через точку  поверхности  и обладает свойством, отличающим ее от других плоскостей, проходящих через .

Пусть  есть точка плоскости , близкая к  (рис. 96). Прямая, проходящая через  параллельно оси , пересекает  в точке , а поверхность  - в точке . Аппликата  равна

,

аппликата же  равна

.

Расстояние между точками  и   равно

.      (3)

Расстояние же между точками  и  равно

.

Так как функция  по условию имеет непрерывные частные производные в точке , то она дифференцируема в этой точке, поэтому правая часть (3) стремится к нулю быстрее, чем , т. е.

.

Мы доказали, что касательная плоскость  к поверхности  в ее точке  проходит через эту точку и обладает свойством: расстояние в направлении оси  от произвольной точки  поверхности  до  есть  , где  - расстояние между точками  и  плоскости .

Это свойство является характерным для касательной плоскости, потому что если некоторая плоскость  вида

обладает этим свойством, т. е. если для нее выполняется равенство

или, что все равно, равенство

,

то, как мы знаем,  дифференцируема в  и

,

т. е. плоскость  есть касательная плоскость к  .

Таким образом, для того чтобы поверхность  имела касательную плоскость в ее точке ,  необходимо и достаточно, чтобы функция  была дифференцируемой в точке .

Рис. 96

Правая часть уравнения (2) есть дифференциал  в точке

,

соответствующий приращениям . Левая же часть (2) есть соответствующее приращение аппликаты касательной плоскости .

Таким образом, с геометрической точки зрения дифференциал функции  в точке  для приращений  есть приращение аппликаты точки касательной плоскости к поверхности  в точке  для тех же приращений.

З а м е ч а н и е. Если функция  не дифференцируема в точке , хотя и имеет в ней частные производные, то плоскость (2) не имеет смысла называть касательной плоскостью к поверхности  в указанной точке – для нее разность  не стремится к нулю при  быстрее . Например, если функция  равна нулю на осях  и  и единице в остальных точках плоскости , то  и уравнение (2) есть  и разность    для всех точек  , не лежащих на осях  и . Таким образом, эта разность даже не стремится к нулю при .