§ 2.5. Монотонные последовательности

О п р е д е л е н и е. Последовательность  называется неубывающей (невозрастающей) ,  если   справедливо неравенство

.

Если на самом деле выполняются строгие неравенства , то последовательность  называется строго возрастающей (строго убывающей) или просто возрастающей (убывающей). Последовательности убывающие и возрастающие, неубывающие и невозрастающие называются монотонными.

Элементы монотонных последовательностей можно расположить в цепочки     , откуда видно, что неубывающая последовательность ограничена снизу, а невозрастающая сверху.

П р и м е р ы:

1)  - невозрастающая последовательность.

2) - возрастающая последовательность.

Ниже мы доказываем важную теорему, утверждающую, что монотонная ограниченная последовательность чисел всегда имеет предел. В нашем изложении (в § 1.7) эта теорема фигурировала как одно из основных свойств – свойство V – множества действительных чисел.

Т е о р е м а 1. Если последовательность действительных чисел

                                  (1)

не убывает (не возрастает) и ограничена сверху (снизу) числом  (соответственно ), то существует действительное число , не превышающее  (не меньшее ), к которому эта последовательность стремится как к своему пределу:

                                     (2)

 (соответственно ).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть последовательность (1) не убывает и пусть пока , тогда и все . Каждый элемент последовательности разложим в бесконечную разложим в бесконечную десятичную дробь:

.                        (3)

Так как последовательность ограничена сверху числом   и не убывает, то на основании леммы 2 § 1.6, десятичные дроби (3) стабилизируются к некоторому числу :

,

но тогда   стремится к  как к своему пределу:

.

В самом деле, для любого  найдется натуральное  такое, что . Так как   стабилизируется к  , то

для всех , где  достаточно велико, но тогда

,

т. е.  при .

Если , то прибавим к  число  настолько большое, что , и положим .

Последовательность  не убывает, ограничена сверху числом  и ее элементы положительны. Поэтому, по доказанному выше существует предел , но тогда существует также предел , и  теорема доказана для произвольной неубывающей последовательности.

Если теперь последовательность  не возрастает и ограничена снизу числом , то последовательность чисел  не убывает и ограничена сверху числом , и, на основании уже доказанного,  существует предел  , который мы обозначили через . Следовательно, существует также  .  Теорема доказана.

З а м е ч а н и е. Если последовательность действительных чисел  сходится, то их десятичные разложения не обязательно стабилизируются. Например, если

,

где после запятой стоят  нулей или   девяток, то последовательность  имеет предел, равный 1 ,  однако, как легко видеть, эта последовательность не стабилизируется.

П р и м е р 1. Приведем новое доказательство равенства (см. пример 8 § 2.1)

,                                     (4)

Пусть пока . Тогда переменная   не возрастает и ограничена снизу числом 0. Но тогда по теореме 1 существует число , к которому стремится :

.

Имеем также

,

откуда   и  , потому что  .

Если теперь , то на основании уже доказанного, . Равенство (4) доказано полностью. Это доказательство (4), пожалуй, более элегантное, чем то, которое было приведено в примере 8 § 2.1, но оно не дает возможности судить о скорости стремления  к нулю – не дается эффективно число , начиная с которого .

П р и м е р 2. Справедливо равенство

,                                          (5)

где - произвольное число.

При   оно очевидно. Пусть . Положим

.

Тогда . Отсюда следует, что , где  достаточно велико.

Таким образом, переменная   для , убывает. Кроме того, она ограничена снизу числом 0. Но тогда существует предел

.

Но также

,

и мы доказали равенство (5) для любого . Но оно верно и для любого , потому что

 при .