§ 6.6. Суммы Дарбу. Условия существования интеграла

Пусть на отрезке  задана ограниченная функция  . Введем разбиение

.

Пусть

.

Наряду с интегральными суммами

рассмотрим суммы

,

которые называют нижней и верхней суммами Дарбу. Очевидно, что .

Суммы Дарбу не обязательно являются интегральными суммами. Однако, если  - непрерывная функция, то  и  являются, соответственно, наименьшей и наибольшей из интегральных сумм, отвечающих данному разбиению, так как по теореме Вейерштрасса  достигает минимума и максимума в каждом , и поэтому можно выбрать точки ,  так, что  и .

Так как  и , то

.                                   (1)

При фиксированном разбиении  и  - постоянные числа, а интегральная сумма  остается переменной в силу произвольности чисел . Легко видеть, что за счет выбора точек  сумму  можно сделать как угодно близкой к  и , т. е. при данном разбиении  и  являются точной нижней и точной верхней гранями для интегральных сумм:

.

Пусть  - разбиения . Если же точки  принадлежат , то будем писать  и говорить, что  есть продолжение . Если множество точек, из которых состоит , есть теоретико-множественная сумма множеств точек, из которых состоят  и , то будем писать .

Свойства сумм Дарбу:

. Если к имеющимся у разбиения  точкам деления добавить новые точки, то верхняя сумма Дарбу   не возрастает, а нижняя  не убывает:

.

Таким образом,

.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для доказательства, очевидно, можно ограничиться случаем, когда добавляется одна новая точка деления . Пусть  - верхняя сумма Дарбу для разбиения  и  - для разбиения . Тогда  отличается от  тем, что вместо слагаемого  в сумме  будут два слагаемых:

,

где

.

Так как отрезки  являются частью , то  (при уменьшении области рассмотрения  может только уменьшаться). Поэтому

,

т. е. , что и требовалось доказать.

Для нижних сумм доказательство аналогично.

. Каждая нижняя сумма Дарбу не больше каждой верхней суммы Дарбу, хотя бы отвечающей другому разбиению промежутка: .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть . Учитывая свойство , получим .

Таким образом, мы доказали, что множество нижних сумм Дарбу  ограничено сверху какой-либо верхней суммой  , и потому существует точная верхняя грань нижних сумм:

.

К тому же мы доказали, что всякая верхняя сумма  не меньше числа . Это показывает, что существует точная нижняя грань верхних сумм

.

Итак . При этом для любого разбиения  выполняются неравенства

.                                (2)

Числа   называются нижним и верхним интегралами Дарбу.

Т е о р е м а   1 (существование интеграла). Для того, чтобы определенный интеграл ограниченной функции  существовал, необходимо и достаточно, чтобы

,          (3)

где число  называется колебанием функции  на .

Д о к а з а т е л ь с т в о. I. Необходимость условия. Допустим, что определенный интеграл  функции  существует: т. е.   такое, что как только , будет , как бы мы ни выбирали точки .

Выше мы установили, что  и  при данном  являются точной нижней и точной верхней гранями для интегральных сумм , если варьировать точками . Поэтому

,

т. е.

и

.

II. Достаточность. Пусть условие (3) выполнено. Тогда из неравенства (2) следует, что . Обозначим общее значение этих двух чисел через  . Тогда

.                                         (4)

Из (3) следует, что для любого   такое, что  при . Но тогда из (1) и (4) получаем

   ,

т. е.  является пределом для  и  интегрируема.

З а м е ч а н и е. Из доказательства теоремы видно, что если функция  интегрируема  на , то , и обратно,  если  , то .