Глава 9. Ряды
§ 9.1. Понятие ряда
Выражение
,
(1)
где числа 
(члены ряда), вообще
комплексные, зависят от индексов 
, называется рядом. Этому
выражению мы не приписали никакого числа, потому что сложение бесконечного
числа слагаемых не имеет смысла. Ряд (1) еще записывают так:
.
(2)
Это чисто формальная запись часто
более удобна, чем запись (1).
Числа
называются 
-ми частичными суммами
ряда (1).
По определению ряд (1) сходится,
если существует
.
В этом случае пишут
(3)
и называют 
суммой ряда, т. е.
выражениям (1) или (2) приписывается число . Говорят еще, что ряд (3) сходится
к .
З а м е ч а н и
е. Равенство ,
где 
и - комплексные,
определяется так же, как для действительных 
, т. е. оно обозначает, что 
. Здесь 
- модуль разности
двух комплексных чисел . Для комплексных переменных
доказывается в точности так же, как для действительных переменных, что предел
суммы, разности, произведения и частного переменных 
равен соответственно сумме,
разности, произведению частному пределов этих переменных с обычной оговоркой в
случае частного 
.
В силу условия
Коши (верного и для последовательностей комплексных чисел), для того чтобы
ряд (1) сходился, необходимо и достаточно, чтобы для всякого 
нашлось такое 
, чтобы для всех
натуральных 
и
любого натурального 
выполнялось неравенство
.
Отсюда в частности (полагая 
), следует, что
если ряд (1) сходится, то его общий член стремится к нулю:
.
(4)
Но условие (4),
будучи необходимым, не является достаточным для сходимости ряда, как это будет
видно из дальнейших примеров.
Рассмотрим еще
ряд
(5)
Так как условие
Коши сходимости рядов (1) и (5) формулируется совершенно одинаково, то они
одновременно либо сходятся, либо расходятся (не сходятся). Если они сходятся,
то сумма ряда (5) равна
.
Ряд (5) называют остатком или
остаточным членом ряда (1).
Если члены ряда
(1) неотрицательны (таким образом, действительны), то его частичные суммы
образуют неубывающую последовательность 
, поэтому, если эта последовательность
ограничена
,
то ряд сходится и его сумма
удовлетворяет неравенству
.
Если же она неограниченна, то ряд
расходится:
.
В этом случае пишут
.
П р и м е р. Ряд
(6)
имеет (при 
) частичную сумму 
. Если 
, то 
и 
. Таким образом,
ряд (6) сходится и имеет сумму, равную 
- на открытом круге . Если же 
, то ряд (6)
расходится, потому что в этом случае его общий член, имеющий модуль, не меньший
единицы 
,
не стремится к нулю при 
.
