§ 8.18. Отображения

Пусть задана система непрерывно дифференцируемых функций

,        (1)

где  - открытое множество точек . Будем говорить, что система (1) определяет непрерывно дифференцируемое отображение

,                                         (1’)

множества  на некоторое множество  точек . Будем еще писать  и называть  образом , а  - прообразом  (посредством отображения ).

Наряду с  рассмотрим другое непрерывно дифференцируемое отображение :

,

открытого множества  точек  на некоторое множество точек . Таким образом, .

З а м е ч а н и е. Отметим, что если  и , то в силу непрерывности  найдется окрестность  точки , образ которой посредством  принадлежит к . Уменьшая , положив , получим тогда, что .

Если , то имеет смысл сложное непрерывно дифференцируемое отображение  .

Якобианы отображений  связаны замечательными равенствами

,                           (2)

доказательство которых, как мы видим, основано на применении формулы производной от сложной функции и правила умножения определителей.

В частности, если  обращает  на множестве точек , т. е. , есть тождественное отображение, то в силу того, что его якобиан равен 1, получим формулу

.               (3)

Будем теперь считать, что определяемое равенствами (1) непрерывно дифференцируемое отображение  имеет якобиан

,

т. е. не равный нулю всюду на открытом множестве .

Приведем без доказательства следующие свойства:

1)  - открытое множество (вместе с !),

2) если  - область, то и  - область,

3) отображение  локально взаимно однозначно, т. е. какова бы ни была точка , найдется шар  с центром в ней такой, что отображение , рассматриваемое только на ,  взаимно однозначно.

Свойство  утверждает только локальную взаимную однозначность. Глобальной взаимной однозначности может и не быть. Например, преобразование   полярных координат точек плоскости в декартовы  при  и произвольном  непрерывно дифференцируемо и имеет положительный якобиан, равный . Оно отображает точки  плоскости  и точки , отличные от нулевой точки, локально взаимно однозначно. Однако каждой такой точке  соответствует хотя и одно , но бесконечное число различных значений , отличающихся между собой на  .