§ 8.13. Экстремумы

Пусть на области (открытое связное множество)  задана функция    и  -  точка . Говорят, что функция  имеет локальный максимум (минимум) в точке , если  окрестность этой точки такая, что  из этой окрестности имеет место неравенство

.                   (1)

Точку  будем называть точкой локального максимума (минимума), а соответствующее значение функции  максимальным (минимальным) значением функции. Локальные максимум и минимум объединяются общим названием «локальный экстремум». Из определения экстремума вытекает, что в достаточно малой окрестности точки  приращение функции  не меняет знака:

 в случае локального минимума ;

 в случае локального максимума .

Т е о р е м а 1. (необходимое условие экстремума). Пусть функция  имеет локальный экстремум в точке . Тогда, если существуют частные производные первого порядка  в точке , то все они обращаются в нуль в этой точке:

.                       (2)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем, что . Зафиксируем переменные . Тогда получим функцию  от одного переменного  причем эта функция имеет локальный экстремум в точке . Поэтому в силу необходимого условия экстремума для функции от одной переменной, заключаем, что производная от этой функции по переменной  должна быть равна нулю в точке . Но эта производная является частной производной функции  по переменной  в точке , т. е.

.

Другие случаи рассматриваются аналогично.

С л е д с т в и е. Если функция  имеет экстремум в точке  и дифференцируема  в точке , то  или .

Данное следствие вытекает из определения дифференциала и градиента.

З а м е ч а н и е. Условие (2) не является достаточным для того, чтобы в точке  был экстремум функции .

Например, функция  имеет частные производные , , которые обращаются в нуль в точке . Однако точка  не является точкой экстремума, так как в любой окрестности этой точки  принимает как положительные, так и отрицательные значения.

В дальнейшем точки, в которых существуют непрерывные частные производные от , удовлетворяющие системе (2), будем называть стационарными точками.

Перейдем к получению достаточных условий экстремума. Пусть функция  имеет непрерывные производные до второго порядка включительно по всем переменным, и пусть  - стационарная точка, т. е. . Тогда, разлагая функцию  по формуле Тейлора в окрестности точки , получим

,

где    при .

Так как вторые производные непрерывны, то величины , зависящие от , стремятся к нулю при , но тогда и  при . Поэтому, учитывая, что , получаем

.

Итак, мы доказали, что

,       (3)

где

и

.

Выражение

                   (4)

есть квадратичная форма относительно . По знаку этой формы можно узнать с помощью формулы (3) знак  для достаточно малых .

Справедливо следующее утверждение:

1) Если форма  строго положительно определенна, т. е.  для всех , то функция  имеет в точке  локальный минимум.

2) Если форма  строго отрицательно определенна, т. е.  для всех , то функция  имеет в точке  локальный максимум.

3) Если  для всех  или  для всех  и имеется , для которого , то вопрос о локальном экстремуме функции  в точке  остается открытым.

4) Если форма  не определенна по знаку, т. е. существуют векторы  и , для которых , то функция  в точке  не имеет локального экстремума.

Д о к а з а т е л ь с т в о   у т в е р ж д е н и я   1). Равенство (3) запишем следующим образом:

,      (5)

где мы ввели новые переменные

.

Легко видеть, что

.

Таким образом, точка  при любых  находится на поверхности -мерного единичного шара. Функция  непрерывна на этой поверхности, представляющей собой ограниченное замкнутое множество, и по условию положительна на этой поверхности. Но тогда  достигает своего минимума  в некоторой точке этой поверхности, который больше нуля  (см. § 8.12, свойство2)).  Так как  при ,  то при достаточно малом  

.

Следовательно,

и функция  имеет локальный минимум в точке .

Утверждение  доказывается аналогично.

Д о к а з а т е л ь с т в о   . В данном случае форма  для некоторого  обращается в нуль, но тогда для соответствующего   значение   и, следовательно, . Но знак  неизвестен, поэтому мы не можем сказать, имеет  в  экстремум или нет.

Д о к а з а т е л ь с т в о   . Здесь опять удобно обратиться к равенству (5). В этом случае по условию существует точка , для которой форма положительна и существует точка , для которой форма отрицательна, но тогда для соответствующих им точек  будут выполняться неравенства ,  и при малых  окажется, что , т. е. в любой малой окрестности  имеются точки  и ,  для которых  и , а это означает, что заведомо нет экстремума.

Известны условия (Сильвестра), выражаемые на языке коэффициентов , при которых квадратичная форма (4) удовлетворяет перечисленным выше условиям 1) - 4). Здесь мы отметим только вытекающие из теоремы Сильвестра критерии в случае функции  от двух переменных.

Если  и

(в этом случае форма (4) строго положительно определенна), то функция  имеет локальный минимум в точке .

Если

(в этом случае форма (4) строго отрицательно определенна), то функция  имеет локальный максимум в точке .

Если , то , как квадратичная форма, не является определенной по знаку при изменении , поэтому в этом случае  также не сохраняет знак в любой окрестности точки , и, следовательно, экстремум в точке  отсутствует.

Если выражение , то вопрос об экстремуме остается открытым.

П р и м е р  1. Для функции  точки  являются стационарными. Исследуем их на экстремум.  Имеем

.

Таким образом, для точки  , . Поэтому в точке  наша функция имеет локальный минимум. Для точки :   , поэтому функция экстремума в точке  не имеет.

П р и м е р   2. Для функции  точка  является стационарной, и легко видеть, что в этой точке функция имеет локальный минимум. Между тем   , т. е.  и .

П р и м е р  3. Для функции  в стационарной точке   , т. е. снова  , но в данном случае функция  в точке  экстремума не имеет, так как на прямой  приращение  меняет знак при переходе через точку .