§ 9.13. Функции exp(z), sinz, cosz от комплексного переменного

Функции от действительной переменной  определены на всей действительной оси .

Из § 4.16 мы знаем, что эти функции разлагаются в степенные ряды:

                  (1)

сходящиеся на .

Это есть ряды Тейлора этих функций по степеням .

В § 5.3 было дано определение функции , где  - действительная переменная, посредством формулы Эйлера

.                           (2)

 Подставим в правую часть (2) вместо  и  их степенные ряды, тогда получим разложение  по степеням

Функцию  для любого комплексного  естественно определить следующим образом:

.

Отсюда

(см. § 9.10, (6), (8)).

Мы получили, что функция  от комплексного переменного  разлагается в степенной ряд по степеням

,                         (3)

сходящийся к ней на всей комплексной плоскости.

Ряд (3) есть ряд Тейлора функции  по степеням .

Радиус сходимости ряда (3) , и уже из общих свойств степенных рядов (см. § 9.10) следует, что ряд (3) абсолютно сходится для любого комплексного , при этом он равномерно сходится (к ) на круге  как бы ни было велико положительное число .

Функции  и  от комплексной переменной  естественно определить как суммы следующих степенных рядов:

,

.

Оба эти ряда имеют радиус сходимостей  и, таким образом, обе соответствующие функции определены для любого комплексного .

Легко проверяется сравнением соответствующих степенных рядов, что

                  (4)

для любого комплексного .

Теперь, пользуясь свойствами показательной функции  (от комплексного ), легко получаем формулы

,

,

верные для любых комплексных  и .

Эти формулы, таким образом, обобщают хорошо известные формулы тригонометрии, где считалось, что  и  - действительные переменные. Отметим, что функции  и   в комплексной плоскости обладают не всеми свойствами обычных функций  и . В частности, эти функции не ограничены на комплексной плоскости.

В силу (4) при действительном

,                (5)

.               (6)

Формулы (5) и (6), между прочим, устанавливают связь между «комплексной тригонометрией» и «гиперболической тригонометрией».

Функция  от комплексной переменной  определяется как обратная функция от функции

.                                       (7)

Если записать  в показательной форме

,

то равенство (7) запишется в виде

,

откуда

,

т. е.

.

Поэтому

,                             (8)

где   понимается в обычном смысле. Из (8) видно, что   есть многозначная функция от  вместе с , независимо от того, будет ли  действительным или комплексным.

Например, с точки зрения этой теории (функций комплексного переменного)  равен одному из чисел  . В действительном анализе для выражения  выбирается среди этих чисел единственное действительное число 0.

Но мы не будем углубляться дальше в теорию функций комплексного переменного – это не наша задача. Сделаем только замечание по поводу формулы

,

которая была выведена в § 4.16 для действительных . Если подставить в ряд в правой части вместо  комплексное  с

,

то ряд останется сходящимся. Можно сказать, что его сумма равна , так как мы его определили выше, точнее, равна одной из однозначных ветвей многозначной функции

.

Функции комплексного переменного, разлагающиеся в степенные ряды (ряды Тейлора), называются аналитическими функциями. Они изучаются в разделе математики, называемом теорией аналитических функций или теорией функций комплексного переменного. Наконец отметим, что если в степенном ряде по степеням

с кругом сходимости  положить , где  - фиксированное число (вообще говоря, комплексное), то получим ряд

,

называемый степенным рядом по степеням .

Он сходится в круге (сходимости)  и расходится для , удовлетворяющих неравенству .