§ 3.10. Порядок переменной. Эквивалентность

Будем рассматривать две функции  и , заданные в некоторой окрестности  точки , за исключением, быть может, самой точки . Точка  может быть конечная и бесконечная . Будем считать еще, что  на . Если

,                                    (1)

то будем этот факт записывать так:

,                                (1’)

и говорить, что  есть -малое от  при .

Например:

;

,   если  ;

,  если  ;

;

  потому что .

Выражение , , обозначает бесконечно малую при , т. е. некоторую функцию , которая стремится к нулю при  . Например,  .

Свойство (1), очевидно, выражает тот факт, что функцию  можно записать в виде , где  при .

Если функции  и , участвующие в соотношении (1) (или, что все равно, в (1’)), суть бесконечно малые при , то говорят еще, употребляя более старинную терминологию, что  при  есть бесконечно малая высшего порядка по отношению к (бесконечно малой) . Если же  и  в (1) бесконечно большие при , то говорят, что  при  есть бесконечно большая более низкого порядка, чем , или еще что  есть бесконечно большая более высокого порядка, чем .

Будем еще писать

                                  (2)

и называть функции  и  эквивалентными (асимптотически равными) при , если выполняется свойство

                                                     (2’)

Например,

 ,                                             (3)

или еще (см. примеры 1, 4, 5 § 3.9)

,                                             (4)

,                                            (5)

,                                            (6)

 .                                           (7)

Отметим, что если

,

то это эквивалентно факту

,

что мы условились обозначать также так:

.                                          (8)

Терминология, которую мы здесь ввели, нужна для того, чтобы упрощать вычисления и сокращать записи формул. Важно при этом усвоить несколько простых свойств асимптотически равных (эквивалентных) функций, которые выражены в теоремах ниже.

Т е о р е м а  1. Если

                                                  (9)

то

.                                                  (10)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Дело в том, что если  на  и выполняется (9), то, очевидно, и , быть может, на несколько уменьшенной окрестности. Но тогда

.

Т е о р е м а  2. Для выполнения свойства  (9) необходимо и достаточно, чтобы

                                        (11)

Равенство (11) надо читать следующим образом: слагаемое, которое добавляется к , чтобы получить , обладает следующим свойством: если разделить его на , то полученное частное будет стремиться к нулю, если устремить  к .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть имеет место (9). Тогда

       где   при .

Следовательно,

,

и мы доказали (11).

Обратно, если верно (11), то

,

где  при . Поэтому

,

и мы получили (9).

Т е о р е м а  3. Если

то

,                                       (12)

.                                                   (13)

Эти равенства надо понимать в том смысле, что если существует в них предел справа, то существует предел и слева, и они равны, и обратно.

Отсюда следует, что если какой-либо из этих пределов не существует, то не существует и второй.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Приведем только одно из этих рассуждений. Пусть существует предел справа в (12).

Тогда

.

П р и м е р  1. , , потому что

.

П р и м е р  2.

.

О п р е д е л е н и е . Если для функции  можно подобрать числа  и , где , такие, что

,

то говорят, что функция есть главный степенной член функции  в окрестности точки .

Правые части соотношений (3) – (7) суть, очевидно, главные степенные члены левых частей при .

Будем говорить, что  на множестве  имеет порядок  или еще  есть  - большое от  на  и при этом будем писать

 на ,                                                  (14)

если

,

где  - не зависящая от  положительная константа.

В частности, равенство

 на

обозначает тот факт, что   ограничена на .

П р и м е р ы:

1)  на ;

2)  на ;

3)  на .