§ 6.2. Свойства определенных интегралов

В этом параграфе мы будем изучать свойства интегрируемых функций. Выше уже отмечалось, что непрерывные и монотонные на отрезке  функции интегрируемы на нем. Это будет доказано позднее в § 6.7.

Т е о р е м а  1. Если  - константа, то

.                             (1)

В самом деле, интегральная сумма функции  для любого разбиения  отрезка  равна

.

Отсюда

.

Т е о р е м а  2. Для функции

.

В самом деле, зададим произвольное разбиение  отрезка :

.

Один из отрезков этого разбиения, пусть , содержит в себе точку : . Поэтому интегральная сумма

(остальные слагаемые заведомо равны нулю). Так как , то

при , и теорема доказана.

Т е о р е м а  3. Если функция  интегрируема на каждом из отрезков ,  , то она интегрируема на  и

                     (2)

(аддитивное свойство определенного интеграла).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Зададим произвольное разбиение отрезка

,

однако такое, что одна из точек , пусть , совпадает с точкой  . Тогда   индуцирует (наводит) на отрезках  и  определенные разбиения  и :

,

и

,

т. е.  . Пусть

.

Тогда и подавно  и . Следовательно,

.

Это равенство доказано пока для разбиений , содержащих в себе точку . Но тогда оно верно и для любых разбиений  (см. лемму 1 ниже). Следовательно, интеграл  существует и имеет место (2).

По определению

,                                         (3)

,     (4)

где  интегрируема на .

Нетрудно видеть, если учесть соглашения (3), (4), что равенство (2) верно для любых чисел , лишь бы  была интегрируема на максимальном из отрезков , , .

Например, в случае, если , на основании теоремы 3

или

,

и мы получили (2).

Т е о р е м а  4. Если функции  и  интегрируемы на  и ,  - произвольные числа, то

.                 (5)

В частности, при  получим равенство

,                                                (6)

показывающее, что постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла.

При ,   получим

.                       (7)       

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для произвольного разбиения  имеем

.

Отсюда, перейдя к пределу при , получим равенство (5). Оно, очевидно, верно и при .

Т е о р е м а  5. Если интегрируемую на  функцию  видоизменить в точке , то для полученной после видоизменения функции  имеет место равенство

.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Видоизменение функции  только в точке  сводится к тому, что к  прибавляется функция вида

где  - некоторое число. Тогда

.

При этом по теореме 2

.

Поэтому, в силу теоремы 4

,

что и требовалось доказать.

З а м е ч а н и е   1. Из теоремы 5 мы видим, что интегрируемость функции  не зависит от того, какие значения она принимает в некоторой определенной точке.

Например, функция  определена на полуинтервале . Если положить ее равной 1 при  , то она будет непрерывной, следовательно, интегрируемой на отрезке . Но она останется интегрируемой, и ее интеграл  будет равен тому же значению, если положить, что , где  - любое число.

Т е о р е м а  6. Если функции  и  интегрируемы на отрезке  и удовлетворяют на нем неравенству

,

то

.                            (8)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для любого разбиения

потому, что . Поэтому после перехода к пределу при  получим (8).

Т е о р е м а   7. Справедливо неравенство

                       (9)

или, если  не обязательно меньше , то

.                                     (9’)

где  и  интегрируемы на .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно,

.

Но тогда, на основании теоремы 6,

или

,

или

,

что и требовалось доказать.

При   правые части (9) и (9’) равны между собой.  Если же , то в силу (4)

,

т. е. имеет место (9’).

Наконец, случай  сводится к очевидному соотношению . Этим доказано (9).

З а м е ч а н и е  2. Интегрируемость  на  влечет за собой интегрируемость  на  (см. ниже § 6.7, замечание 2). Для конкретных функций это всегда очевидно. Например, если функция  кусочно-непрерывна на  (она, как будет доказано, интегрируема), тогда и  кусочно-непрерывна.

Обратно, из интегрируемости , вообще говоря, не следует интегрируемость  на .

Например, функция , приведенная в примере § 6.1,

не интегрируема на . Между тем  на  и есть интегрируемая на  функция.

Т е о р е м а  8. Если функция  интегрируема и неотрицательна на  и существует точка  непрерывности , для которой , то

.                                       (10)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Будем считать, что . Так как  непрерывна в точке  и , то существует отрезок  такой, что (см. § 3.3, теорема 4)

.

Тогда

,

потому что

.

Если  или , то вместо  придется рассматривать отрезок , соответственно .

Л е м м а  1. Пусть для ограниченной на  функции  выполняется равенство

,

где  разбиение отрезка , содержащее в себе точку  . Тогда это равенство верно и для произвольных :

.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть  есть произвольное разбиение отрезка , не содержащее точку .

,

где .

Добавляя к  точку , получим разбиение . Если , то и .

Если выбросить из  слагаемое  и прибавить  , то получим интегральную сумму . При этом

,

где , , . Очевидно, 

Следовательно,

.