§ 6.7. Интегрируемость непрерывных и монотонных функций

Т е о р е м а   1.  Если функция  непрерывна на , то она интегрируема на .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как функция  непрерывна на , то она равномерно непрерывна на  и, следовательно,   такое, что как только  разбит на части с , то все колебания . Отсюда

.

В силу произвольности  заключаем, что , и по теореме 1 § 6.6 функция  интегрируема.

Т е о р е м а   2. Монотонная на отрезке функция интегрируема на этом отрезке.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Будем считать, что , иначе функция постоянна и теорема тривиальна.

Так как  , то наша функция ограничена на . Введем разбиение  отрезка  . Так как в данном случае , то

,

. Выберем теперь ; тогда

,

и по теореме существования (теорема 1 § 6.6) заключаем, что  интегрируема. Теорема доказана.

З а м е ч а н и е   1. отметим, что монотонная функция может иметь счетное множество точек разрыва. Например, функция , монотонно возрастает на , имеет счетное множество точек разрыва. Следовательно, по теореме 2 она интегрируема.

З а м е ч а н и е  2. Если  интегрируема на  , то  также интегрируем.

В самом деле,  и  из  имеем

.                   (1)

Если ,  - колебания , соответственно , на , то из (1) следует, что  и

.

Так как  интегрируема, то

,

но тогда

,

и, следовательно,  интегрируем.