§ 4.14. Формула Тейлора

<< Предыдущий параграф

Следующий параграф >>

<< Предыдущий параграф

Следующий параграф >>

Пред.

След.

Вернуться к книге

Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ

ZADANIA.TO

§ 4.14. Формула Тейлора

Рассмотрим произвольный многочлен степени :

где, таким образом, - постоянные числа – коэффициенты многочлена. Пусть - любое фиксированное число. Полагая , получим

, (1)

откуда, возводя в степени квадратные скобки и приводя подобные по степеням , получим выражение для в следующей форме:

, (2)

называемое разложением многочлена по степеням . Здесь - числа, зависящие от и - коэффициенты разложения по степеням . Например, . Из (1) очевидно, что на самом деле от не зависит.

Найдем последовательные производные :

, (3)

Производные порядка выше равны нулю. Полагая в формулах (2) и (3) , получаем

или

, (4)

где мы считаем .

Формулы (4) показывают, что многочлен степени можно разложить по степеням единственным образом, т. е. если для всех значений верно равенство

где и - постоянные, то . Ведь как числа , так и вычисляются по одной и той же формуле (4).

В силу (4) формулу (2) можно переписать так:

. ()

Формула называется формулой Тейлора для многочлена по степеням . Отметим, что правая часть фактически не зависит от .

П р и м е р 1. Пусть и . Тогда в силу

где в данном случае

и мы получили известную формулу бинома Ньютона.

. (5)

Рассмотрим теперь любую функцию , которая имеет непрерывные производные всех порядков до -го в некоторой окрестности точки . Мы можем формально составить многочлен

, (6)

который называется многочленом Тейлора -й степени или -м многочленом Тейлора функции по степеням .

Многочлен совпадает с функцией в точке , но для всех он не равен (если не является многочленом степени ). Кроме того,

. (7)

Положим

. (8)

Формула (8) носит название формулы Тейлора для функции ; называется остаточным членом формулы Тейлора, - подробнее -м остаточным членом формулы Тейлора функции по степеням . Функция показывает, какую погрешность мы допускаем при замене на многочлен Тейлора (6).

Найдем выражение для через производную .

В силу (7) и (8) . Положим . Ясно, что . Применяя теорему Коши к функциям и , будем иметь

Но .

Следовательно,

, (9)

где - некоторая точка, лежащая между и . Таким образом, формулу (8) можно записать в виде

. ()

Формула называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

Мы доказали важную теорему.

Т е о р е м а 1. Если функция имеет в окрестности точки непрерывную производную , то для любого из этой окрестности найдется точка такая, что можно записать по формуле .

Здесь зависит от и .

Если точка , то формулу (8) называют формулой Маклорена.

Известны и другие формы остаточного члена формулы Тейлора. Так, большое значение имеет форма Коши.

, (10)

где зависит от и . Вывод этой формулы будет дан в § 6.5.

Уменьшая окрестность точки , получим, что производная есть непрерывная функция от на замкнутом отрезке . Но тогда она ограничена на этом отрезке:

(11)

(см. § 3.5, теорема 1). Здесь - положительное число, не зависящее от указанных , но, вообще говоря, зависящее от . Тогда

. (12)

Неравенство (12) можно использовать в двух целях: для того чтобы исследовать поведение при фиксированном в окрестности точки и для того, чтобы исследовать поведение при .

Из (12), например, следует, что при фиксированном имеет место свойство

, (13)

показывающее, что если разделить на , то полученное частное будет продолжать стремиться к нулю при .

В силу (13) из следует:

. (14)

Эта формула называется формулой Тейлора с остаточным членом в смысле Пеано.

Она приспособлена для изучения функции в окрестности точки .

Т е о р е м а 2 (е д и н с т в е н н о с т и). Пусть одна и та же функция из различных соображений оказалась представленной в окрестности точки в виде

(15)

Тогда

. (16)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если приравнять правые части (15) и перейти к пределу при , то получим . Теперь в этом равенстве можно сократить на и опять перейти к пределу при . Тогда получим . И так продолжаем до тех пор, пока получим .