§ 6.8. Несобственные интегралы

Зададим на конечном полуинтервале  функцию .  Допустим, что она интегрируема (например, непрерывна или кусочно-непрерывна) на любом отрезке , где , и не ограничена в окрестности точки .  Тогда ее интеграл на  или, что все равно, на  в обычном смысле (Римана) не может существовать, потому что  интегрируемая на  по Риману функция необходимо ограничена. Однако может случиться, что существует конечный предел

.

Если это так, то этот предел называют несобственным интегралом от  на отрезке  и записывают в виде

.                       (1)

В таком случае говорят, что интеграл  сходится.

В противном случае говорят, что он расходится или не существует, как несобственный риманов интеграл.

Допустим теперь, что функция  задана на луче  и интегрируема на любом конечном отрезке , где . Если существует предел

,

то он называется несобственным интегралом от  на  и обозначается так:

.

Условимся в следующей терминологии. Выражение

                               (2)

будем называть интегралом (от ) с единственной особенностью в точке , если выполняются следующие условия: если  - конечная точка, то функция  интегрируема на  при любом , удовлетворяющем неравенствам , и, кроме того, не ограничена в окрестности точки  . Если же , то про функцию  предполагается лишь, что она интегрируема на  при любом конечном .

Подобным образом определяется интеграл  с единственной особенностью в точке . Теперь  - конечная точка. Если точка  тоже конечна, то  в окрестности  не ограничена и интегрируема на любом отрезке , где . Если же , то функция  предполагается интегрируемой на  для любого .

В дальнейшем мы будем для определенности рассматривать интеграл (2) с единственной особенностью в точке , конечной или бесконечной. Все выводы по аналогии могут быть перенесены на случай интеграла с единственной особенностью в точке .

Т е о р е м а. Пусть задан интеграл (2) с единственной особенностью в точке . Для его существования необходимо и достаточно выполнение условия (Коши): для всякого  существует  такое, что

,                                        (3)

каковы бы ни были , удовлетворяющие неравенствам .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим функцию

.

Существование интеграла (2) эквивалентно существованию предела , что в свою очередь эквивалентно выполнению условия Коши: для любого  существует , где , такое, что выполняется неравенство  для всех  и , удовлетворяющих неравенствам . Но

,

и  теорема доказана.

П р и м е р   1. Интеграл

,                                    (4)

где  - постоянное число, имеет, очевидно, единственную особенность в точке . Чтобы выяснить, сходится ли он, надо вычислить предел

Таким образом, интеграл (4) сходится при  и равен , и расходится при . Если же , то он расходится:

.

П р и м е р   2. Интеграл

интеграл

.

П р и м е р   3. Интеграл  имеет единственную особенность в точке . Он  сходится и равен

.

Пусть снова задан интеграл

,                                               (5)

имеющий единственную особенность в точке . Тогда интеграл

,                                               (6)

где , также имеет единственную особенность в точке . Условие Коши существования интегралов (5) и (6) формулируется совершенно одинаково. Поэтому эти интегралы одновременно сходятся или одновременно расходятся. Кроме того, при , очевидно, имеет место

,                                 (7)

где - обычный риманов собственный интеграл, а интегралы  и  -  несобственные.

Отметим равенство

,                            (8)

где и  - постоянные. Его надо понимать в том смысле, что если существуют интегралы в правой части, то существует также интеграл в левой и имеет место равенство (8).

Говорят, что интеграл (5) (имеющий особенность в точке ) сходится абсолютно, если сходится интеграл

                               (9)

от абсолютного значения .

Абсолютно сходящийся интеграл сходится. В самом деле, из сходимости интеграла (9) следует, что для любого  на интервале  найдется точка  такая, что если , то

,

т. е. для  интеграла (5) выполняется условие Коши. Так как

,

то после перехода к пределу при  для абсолютно сходящегося интеграла (5) получим

.                      (10)   

З а м е ч а н и е. Неравенство (10) верно и для неабсолютно сходящегося интеграла – в этом случае справа стоит , а символ  мы считаем большим любого конечного числа. Этим широко пользуются в технике вычислений. Если надо узнать, сходится или нет интеграл  , мы пишем неравенство (10) и исследуем на сходимость интеграл . Если этот последний сходится, т. е. если , то сходится и наш интеграл . Конечно, если , то придется к нашему интегралу применить более тонкие методы. Возможно все же, что он сходится, но только не абсолютно (см. примеры в конце § 6.9).