§ 8.4. Частные производные и производная по направлению

Назовем приращением функции  в точке  по переменной  с шагом  величину

,

где  - действительное число, достаточно малое, чтобы эта величина имела смысл.

Частной производной по  в точке  называется  предел

,

если он существует. Частная производная  есть обычная производная от функции , рассматриваемой как функция только от переменной  при фиксированном .

Функция  от двух переменных изображается в трехмерном пространстве, где задана прямоугольная система координат , поверхностью – геометрическим местом точек , где  принадлежит области задания функции . Очевидно, что величина  (если она существует) равна тангенсу угла наклона к оси  касательной к сечению этой поверхности плоскостью  в точке, имеющей абсциссу .

Совершенно аналогично можно определить частную производную по  в точке :

.

Если функция , заданная на множестве , имеет частные производные  во всех точках , то эти производные можно рассматривать как новые функции, заданные на .

Поэтому можно поставить вопрос о существовании частных производных у этих функций по какому-либо переменному в точке .

Если у функции  существует частная производная снова по переменной , то ее называют частной производной второго порядка от функции  по переменной  и обозначают  . Таким образом, по определению

.

Если существует частная производная от функции  по переменной , то эту производную называют смешанной частной производной второго порядка от функции  и обозначают символом

.

Для функции от двух переменных  можно рассматривать четыре производных второго порядка

.

Если производные второго порядка (все или какая-либо одна) существуют для всех , то может возникнуть вопрос о существовании частных производных третьего порядка.

Вообще, частной производной -го порядка будем называть частную производную по какому-нибудь переменному от некоторой производной -го порядка. Например,

.

Частные производные  будем называть частными производными первого порядка, а саму функцию  - частной производной нулевого порядка.

Для частных производных будем также употреблять символику:

.

Назовем приращением  в точке  по переменной  с шагом,  величину

,

где  - действительное число, достаточно малое, чтобы эта величина имела смысл. Частной производной от  по  в точке  называется предел

,

если он существует. Частная производная  есть обычная производная от функции ,  рассматриваемой как функция только от переменной  при фиксированных .

Если  - вектор с неотрицательными целыми координатами, то пишут

.

П р и м е р . Найти  от функции .

Имеем

.

Естественно возникает вопрос, будут ли равны между собой частные производные, если они взяты по одним и тем же переменным, одно и тоже число раз, но в разном порядке.

Например, равны ли

В общем случае ответ на этот вопрос отрицательный. Однако имеет место следующая теорема, которую мы сформулируем для функции от двух переменных.

Т е о р е м а  (о смешанных производных). Пусть функция  определена вместе со своими частными производными  в некоторой окрестности точки , причем  и  непрерывны в  точке ; тогда

,

т. е. в этом случае результат дифференцирования не зависит от порядка дифференцирования.

Д о к а з а т е л ь с т в о. В самом деле,

.                             (1)

Отсюда, применяя теорему Лагранжа по переменной  к функции  на промежутке , получаем:

.   (2)

Законность применения теоремы Лагранжа обусловлена существованием частной производной  в достаточно малой окрестности точки .

Так как по условию теоремы существует частная смешанная производная  в окрестности точки , то снова применяя теорему Лагранжа, из (2) получаем:

.          (3)

Кроме того, по условию  непрерывна в точке , поэтому из (3) имеем

,                                (4)

где  при  .

Из (4) следует, что

.                                       (5)

Совершенно аналогично, пользуясь непрерывностью  в точке , доказывается равенство

.                                      (6)

На основании (5) и (6), в силу равенства (1), заключаем, что утверждение теоремы верно.

З а м е ч а н и е  1. По индукции легко распространить эту теорему на любые непрерывные смешанные частные производные, которые отличаются друг от друга только порядком дифференцирования. Например,

.

З а м е ч а н и е  2. Если условие непрерывности отсутствует, то смешанные производные могут быть различными в точке . Рассмотрим функцию

.

Легко подсчитать, что

и

;

.

Далее, по определению,

,

.

т. е.

.

Отметим, что частные производные  и  разрывны в точке , например,  при , откуда видно, что

.

Можно еще ввести понятие производной по направлению. В случае функции от одной переменной оно не употребляется.

Пусть  есть произвольный единичный вектор. Производной от функции в точке  по направлению  называется предел

(если он существует). Подчеркнем, что при вычислении этого предела предполагается, что  стремится к нулю, принимая положительные  значения, поэтому можно еще сказать, что  есть правая производная в точке  от функции  по .

Можно, как в случае функций от одной переменной, говорить о правой и левой частных производных  по . Надо учесть, что производная по направлению положительной оси  совпадает с правой частной производной по , однако производная по направлению отрицательной оси  имеет знак, противоположный знаку левой производной по .