Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
§ 4.18. Экстремальные значения функции на отрезке
Пусть надо найти максимум
(минимум) функции 
,
непрерывный на отрезке 
. Тот факт, что достигает максимума (минимума)
на в
некоторой точке 
,
доказан в теореме 2 § 3.5.
Могут быть только три
возможности: 1) 
,
2) 
, 3) 
.
Если 
, то, согласно сказанному в
предыдущем § 4.17, точка 
будет точкой локального экстремума, и ее
следует искать либо среди стационарных точек, либо среди точек, где производная
не существует.
Если указанные точки образуют конечное множество 
, то
.
Отметим, что нет необходимости
выяснять характер стационарных точек, если мы поставили себе только задачу
найти максимум (минимум) функции на .
П р и м е р 1. Найти наибольшее
и наименьшее значения функции
.
Находим производную: 
. Приравниваем ее
нулю:
.
Это уравнение
имеет на отрезке 
единственное
решение 
.
Так как 
,
то
.
П р и м е р 2.
Пусть электрическая лампа может передвигаться по вертикали 
(оси 
). На плоскости,
перпендикулярной ,
возьмем точку 
(на
оси 
). На
какой высоте надо подвесить лампу, чтобы в точке была наилучшая освещенность (рис. 54).
Рис. 54
Р е ш е н и е. Поместим
лампу в точку 
,
и пусть 
,
.
Известно, что освещенность 
в точке 
определяется по закону 
, где 
- коэффициент
пропорциональности. Примем за аргумент функции . Так как 
, 
, то 
.
По смыслу
задачи 
.
Найдем наибольшее значение этой функции. 
.
Далее
при 
.
Так как 
, то наибольшее
значение функция 
принимает
в точке .
Таким образом, лампу надо подвесить на высоте .
