§ 7.6. Интерполяционная формула Лагранжа
Поставим задачу. Требуется найти
алгебраический многочлен 
степени не выше, чем 
, который совпадал
бы с функцией 
в
заданных точках 
.
Таким образом, должны выполняться условия
.
Многочлен единственный. Если
предположить, что существует еще один многочлен 
с теми же свойствами, то разность 
обратится в нуль в
точке 
и будет
алгебраическим многочленом степени не выше, чем , значит, разность тождественно равна
нулю и 
.
Из единственности следует, что
если исходная функция сама является алгебраическим
многочленом степени , то она совпадает с для всех 
.
Сначала найдем алгебраический многочлен степени 
, который в точках 
равен нулю, а в
точке 
равен
единице. Очевидно, что
,
где постоянная 
находится из
условия
, т. е. 
.
Таким образом, искомый многочлен
имеет вид
.
Если ввести в рассмотрение символ Кронекера
то
.
Поставленную задачу решает многочлен
, (1)
ибо
.
Многочлен (1) называется интерполяционным
многочленом Лагранжа.
Так же как при получении формулы
остаточного члена в формуле Тейлора можно показать, что если имеет производную 
-го порядка, то
, (2)
где
и 
- некоторая точка, принадлежащая к
наименьшему отрезку, содержащему точки 
. В самом деле, положим для
фиксированного
,
(3)
где 
- величина, зависящая от . Обозначим
,
где имеет то же значение, что и в (3), это
величина, не зависящая от 
. Ясно, что 
. Пусть, например, 
, тогда, применяя
теорему Ролля к функции 
на отрезках 
, получим, что производная 
обращается в нуль
внутри каждого из них. Затем, применяя теорему Ролля последовательно к функциям
получим,
что существует точка , принадлежащая наименьшему отрезку,
содержащему в себе точки 
, в которой 
, но
.
Полагая 
, получим 
. Поэтому
,
и равенство (2) доказано.
Интерполяционный многочлен
Лагранжа находит применение в приближенном вычислении производных функции , когда ее значения
известны только в точках 
. А именно, полагают
Например, если известна в точках 
, то, построив по
этим точкам многочлен Лагранжа 
, найдем, что
.
В последующих параграфах мы
укажем применение многочлена Лагранжа при приближенном вычислении определенного
интеграла.
