§ 9.9. Интегрирование и дифференцирование равномерно сходящихся рядов

Т е о р е м а  1. Пусть на отрезке  задана последовательность  (комплекснозначных) непрерывных функций, сходящаяся к функции . Если сходимость равномерна на , то

                         (1)

равномерно на . В частности (при ),

.                        (2)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из условий теоремы следует (см. § 9.8, теорема 2), что предельная функция  непрерывна на  и

.

Поэтому

,

где правая часть не зависит от  и стремится к нулю при , а это доказывает теорему.

Т е о р е м а  2. Равномерно сходящийся на отрезке  ряд (комплекснозначных) непрерывных функций

                    (3)

можно почленно интегрировать :

.          (4)

Полученный при этом ряд (4) равномерно сходится на .

В частности,

.              (5)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Заметим, что , как сумма равномерно сходящегося на отрезке  ряда непрерывных функций, есть, в свою очередь, непрерывная функция на . Пусть

.

Так как ряд (3) равномерно сходится к , то

.

Поэтому

,

и теорема доказана.

Т е о р е м а  3. Пусть на отрезке  задан ряд

                                 (6)

(комплекснозначных) функций, имеющих непрерывную производную.

Если ряд (6) сходится в некоторой точке  и, кроме того, формально продифференцированный ряд

                                 (7)

равномерно сходится на , то ряд (6) равномерно сходится на  и производная от его суммы  есть сумма ряда (7).

Таким образом,

,                   (8)

.         (9)

Д о к а з а т е л ь с т в о. По условию ряд (7) равномерно сходится на  и его члены – непрерывные функции на , поэтому его сумма, которую мы обозначим пока через , непрерывная функция на . На основании теоремы 2 ряд (7) можно интегрировать почленно и получить равномерно сходящийся на  ряд

.

Применяя теорему Ньютона-Лейбница, будем иметь

.                           (10)

Ряд справа в (10) с членами, равными функциям в квадратных скобках, равномерно сходится на ,  ряд  по условию сходится, и так как его члены постоянны, то его надо рассматривать как равномерно сходящийся ряд на ; но тогда ряд  также сходится, и притом равномерно  на ,  как сумма двух равномерно сходящихся рядов; обозначим его сумму через . Тогда равенство (10) можно переписать так:

.

Но функция  имеет производную, равную , и теорема доказана.

П р и м е р   1. Ряд

               (11)

при  равномерно сходится на всей действительной оси по признаку Вейерштрасса потому, что

и

.

Продифференцируем ряд (11) формально:

                 (12)

Этот ряд сходится равномерно на  уже при . Но тогда при

.                                   (13)  

Рассмотрим случай . В этом случае признак Вейерштрасса к ряду (12) неприменим. Однако ряд (12) равномерно сходится на отрезке  при любом  (см. § 9.8, пример 4). Так как к тому же сходится на этом отрезке и ряд (11), то можно утверждать на основании теоремы 3, что имеет место равенство (13) на отрезке , как бы ни было мало , но тогда, очевидно,  и на интервале .

Если учесть, что члены ряда (11) имеют период , то мы доказали, что при условии  ряд (11) законно дифференцировать почленно для всех значений , исключая точки .

П р и м е р   2. Пусть функция  является непрерывной на , линейной на каждом из отрезков  и   и такой, что ,    на , где  - любая последовательность чисел (рис. 105). Тогда, очевидно,  для всех , а

.

Очевидно, далее, что

,

поэтому последовательность  равномерно сходится тогда и только тогда, когда . Равенство

                   (14)

выполняется тогда и только тогда, когда .

Рис. 105

Мы видим, что из равномерной сходимости  к  на  (т. е. когда ) следует сходимость интегралов (14), что согласуется с теоремой 2. Но последовательность   может сходиться неравномерно, в то время как свойство (14) все же соблюдается, например, при . Это показывает, что равномерная сходимость последовательности является достаточным, но не необходимым условием сходимости последовательности интегралов к интегралу от предельной функции. Далее, при   последовательность  не только сходится к нулю неравномерно, но и свойство (14) не соблюдается.

Таким образом, если последовательность  сходится неравномерно, то возможно, что последовательность интегралов  сходится к интегралу от предельной функции , а возможно, что сходится к другому числу (при  сходится к , а не к нулю) или же не сходится вовсе.

П р и м е р   3. Из равенства  следует, что

,

а отделяя действительную и мнимую части, получим

,              (15)

.                          (16)

Функция  называется ядром Пуассона, а  - ему сопряженной функцией.

Эти функции являются гармоническими функциями (для ), т. е. удовлетворяют дифференциальному уравнению Лапласа  в полярных координатах

.                         (17)

В самом деле, каждый член ряда (15) является гармонической функцией

,

,

.

Аналогично .

Законность почленного дифференцирования рядов (15) и (16) обусловлена тем, что эти ряды и формально продифференцированные (один или два раза) ряды равномерно сходятся при , где  - любое положительное число, меньшее единицы.

Заметим, что функция , где  и  - декартовы координаты, называется гармонической в области  точек , если она удовлетворяет в этой области дифференциальному уравнению

.

В полярных координатах это уравнение имеет вид (17).