§ 4.16. Формулы и ряды Тейлора элементарных функций
1. 
. Эта функция бесконечно
дифференцируема (имеет производные любого порядка) на 
). При этом
.
Формула Тейлора с остаточным
членом в форме Лагранжа имеет вид
, (1)
где 
может быть положительным и
отрицательным. На отрезке 
, 
,
. (2)
Это показывает (см. теорему 1 §
4.15), что функция 
разлагается на в сходящийся ряд Тейлора по
степеням (ряд
Маклорена):
. (3)
Но - произвольное число, поэтому это
равенство имеет место на всей действительной оси 
. В данном случае 
на отрезке 
, и чтобы получить
равенство (3), можно было бы воспользоваться теоремой 2 § 4.15.
Вычислим число 
с точностью до 0,001. Имеем
(см. (1))
(4)
где
.
(5)
Надо подобрать 
настолько большим,
чтобы
.
Так как 
, то для этого достаточно
решить неравенство 
. Оно выполняется при 
. Следовательно,
с точностью до 0,001.
П р и м е ч а н и е . Так как 
при 
, то при 
, где 
. Поэтому равенство
(4) можно записать в следующем виде:
.
Эта формула была использована (в
§ 2.6, формула (3)) для доказательства иррациональности числа .
2. 
. Данная функция имеет производную
любого порядка и
.
Поэтому по теореме 2 § 4.15
функция 
разлагается
в сходящийся к ней на ряд Тейлора по степеням :
.
Надо учесть, что
Формула Тейлора функции по степеням имеет вид
, (6)
где
.
Отсюда следует, что
и
.
3. 
. Совершенно аналогично можно получить,
что
.
П р и м е р 1. Найти 
.
Имеем
,
(7)
поэтому
,
т. е.
.
На самом деле в (7) остаток имеет
вид 
. Но
для наших целей достаточно 
. Надо иметь в виду, что если некоторая
функция от есть
, то она
есть также (но
вообще не наоборот!).
4. Функция 
определена и сколько угодно
раз дифференцируема для 
. Поэтому для нее формулу Тейлора можно
написать для любого 
при . Так как
,
то формула Тейлора имеет вид
.
Используя формы Лагранжа и Коши
остаточного члена, можно показать, что
.
В самом деле, используя форму
Лагранжа остаточного члена, имеем для 
:
;
используя форму Коши остаточного
члена (см. § 4.14, (10)), имеем для 
:
.
Поэтому функция 
разлагается в
указанном промежутке в ряд Тейлора по степеням :
.
5. Функция 
. Для этой функции
,
.
Формула Тейлора по степеням имеет вид
.
Можно доказать, что при любом 
.
Поэтому для любого
действительного имеет
место разложение функции 
в ряд Тейлора по степеням
. (8)
Если натуральное, то функция есть многочлен. В
этом случае 
для
, и ряд
справа в (8) представляет собой конечную сумму – многочлен Тейлора
(см. § 4.14).
При 
исследование
поведения остаточного члена (в форме Коши или Лагранжа) требует больших усилий.
Отметим лишь, что при 
ряд Тейлора (8) сходится при 
, а при 
для 
.
Приведем частные случаи ряда (8)
при 
; 
:
- обыкновенная геометрическая
прогрессия, расходящаяся при ;
:
здесь ряд справа сходится при .
П р и м е р 2. Вычислить предел 
П р и м е р 3.
.
