§ 2.11. Условие Коши сходимости последовательности
Пусть задана
последовательность действительных чисел 
, сходящаяся к конечному пределу 
:
.
Это значит, что для всякого 
найдется число 
такое, что
.
Наряду с
натуральным числом 
можно подставить в это неравенство
другое натуральное число 
:
.
Тогда
.
Мы получили
следующее утверждение: если переменная 
имеет конечный предел, то для нее
выполняется условие (Коши): для любого найдется такое, что
.
Последовательность
чисел, удовлетворяющая условию Коши, называют еще фундаментальной
последовательностью.
Оказывается,
что имеет место также обратное утверждение: если последовательность
действительных чисел фундаментальная, т. е. удовлетворяет
условию Коши, то она имеет предел, т. е. существует число (конечное) такое, что 
.
Д о к а з а т е
л ь с т в о. Начнем с того, что докажем, что фундаментальная последовательность
ограничена. В самом деле, положим 
и подберем, согласно условию Коши,
число 
так,
что
,
откуда
или
.
(1)
Зафиксируем и обозначим
,
т. е. максимум чисел 
, где 
, и числа 
. Тогда в силу (1)
,
и ограниченность
последовательности доказана.
По теореме
Больцано-Вейерштрасса из ограниченной последовательности можно выделить
подпоследовательность 
, сходящуюся к некоторому (конечному)
числу ,
т. е.
.
Покажем, что в
данном случае не только эта подпоследовательность, но и вся последовательность
имеет предел :
.
В самом деле,
согласно условию Коши, которому удовлетворяет наша последовательность, для
любого найдется
такое,
что
.
(2)
С другой стороны, в силу того что
, можно
указать такое 
,
что
.
(3)
В силу (2), где надо положить 
, и (3) имеем
,
и мы доказали, что
последовательность имеет предел, равный .
Итак, доказана.
Т е о р е м а 1 (критерий Коши
существования предела). Для того чтобы последовательность действительных
чисел имела
конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной (удовлетворяла
условию Коши).
