Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
Пусть
есть кривая, описываемая в
прямоугольной системе координат
положительной функцией
, имеющей на
непрерывную
производную. Вычислим площадь
поверхности вращения
вокруг оси
. Для этого
произведем разбиение
, впишем в кривую
ломаную
с вершинами
, вычислим площадь
поверхности вращения последней вокруг оси
(сумма площадей боковых поверхностей усеченных
конусов):
,
.
Число
, равное пределу
при
, если он существует,
называется площадью поверхности вращения. Применяя теорему Лагранжа к
разности
,
получим
при
; согласно теореме Лагранжа
точка
. В
самом деле, так как
и
непрерывны на
, то
интегрируема, поэтому
.
Далее
,
так как
интегрируема. Здесь
. Таким образом,
площадь поверхности тела вращения равна
. (1)
П р и м е р. Найти площадь
поверхности вращения эллипса
вокруг оси
(площадь поверхности
эллипсоида вращения).
Р е ш е н и е. Уравнение верхней половины эллипса
.
При
в пределе получим, что
- площадь
поверхности шара радиуса
.