§ 9.12. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов

Т е о р е м а   1. Радиусы сходимости степенного ряда

                                    (1)

и  ряда

,                              (2)

полученного из него формальным дифференцированием, совпадают.

З а м е ч а н и е. Определение непрерывности и производной от функции комплексного переменного  такое же, как и в случае функции от действительной переменной. Необходимо лишь иметь в виду, что -окрестность точки  есть открытый круг радиуса  с центром в точке . Исходя из этого определения, производная от степенной функции  вычисляется по формуле .

Д о к а з а т е л ь с т в о   т е о р е м ы   1. Будем считать, что  есть радиус сходимости ряда (1), а  - радиус сходимости ряда (2). Докажем теорему в предположении, что предел

                                   (3)

конечный или бесконечный существует. Имеем

,

следовательно, .

В общем случае, когда предел (3) не существует, имеет место

и тогда

.

Но требуется доказать обоснование второго равенства – надо доказать, что числа  и , то

.                                    (4)

В самом деле, существует подпоследовательность  такая, что

.       (5)

Существует также подпоследовательность  такая, что

.             (6)

Из (5) и (6) следует (4).

Т е о р е м а   2. Степенной ряд

                   (7)

законно формально дифференцировать в пределах его (открытого) круга сходимости , т. е. верна формула

.            (8)

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Эту теорему мы докажем только в предположении,  что  есть действительная переменная, что даст нам возможность свести вопрос к хорошо известному факту из теории действительных рядов.

Итак, степенной ряд (7) для действительной переменной имеет вид

.                 (7’)

Этот ряд теперь уже имеет не круг, а интервал сходимости . Соответствующий формально продифференцированный ряд имеет вид

                                  (8’)

Его сумму мы пока обозначили через . Он сходится на интервале  на основании предыдущей теоремы. Оба ряда, как мы знаем, равномерно сходятся на отрезке , где . При этом члены второго ряда непрерывны и являются производными от соответствующих членов первого. Но тогда на основании теоремы из теории равномерно сходящихся рядов (см. § 9.9, теорема 3) выполняется равенство

                                      (9)

на отрезке , следовательно, и на интервале , потому что  произвольно.

Отметим, что в силу доказанной теоремы 2 ряд (1) законно почленно дифференцировать сколько угодно раз. На -м этапе мы получим равенство

,

справедливо для всех  с . Если положить в нем , то получим

или

.

Отсюда, в частности, следует, что разложение функции  в степенной ряд (см. (1)) в некотором круге  (или в интервале , если речь идет о функции  действительного переменного ) единственно.

Таким образом, сумму  степенного ряда (7), имеющего радиус сходимости , можно записать еще следующим образом:

.              (10)

Ряд справа в (10) называется рядом Тейлора функции  по степеням .

Мы получили, что если степенной ряд (1) имеет радиус сходимости , то он является рядом Тейлора своей суммы .

Вопрос о почленном интегрировании степенных рядов во всей его полноте потребовал бы введения криволинейного интеграла от функции комплексного переменного. Мы ограничимся рассмотрением этого вопроса только для степенных рядов

                             (11)

от действительной переменной  .

Зададим степенной ряд (11), имеющий интервал сходимости , где . Числа  могут быть действительными или комплексными. Зададим фиксированную точку  и подберем  так, чтобы

.

Степенной ряд (11) равномерно сходится на отрезке , находящемся строго внутри интервала сходимости ряда, и, следовательно, его можно почленно интернировать (см. § 9.9, теорема 2) от  до :

            (12)

.

В частности, при  получим

.             (13)

П р и м е р   1. Очевидно, что

.

Этот ряд сходится на интервале  . Поэтому, если , то законно почленное интегрирование этого ряда от нуля до  (ряд равномерно сходится на любом отрезке, принадлежащем к интервалу сходимости):

.

Полученный ряд сходится и при  (как ряд Лейбница). Можно доказать, что он сходится к , т. е.  (см. далее § 9.14).

П р и м е р   2. Ряд Тейлора для функции  имеет вид (см. § 4.16)

,

причем для него . Поэтому этот ряд можно почленно интегрировать:

,

т. е. мы получили выражение интеграла Пуассона через степенной ряд.

П р и м е р   3. Ряд Тейлора функции  имеет вид (см. § 4.16)

.

Он сходится на всей оси. Отсюда при  имеем

.                         (14)

Считая, что , получаем, что равенство (14) верно и при . Ряд (14) равномерно сходится на любом конечном интервале действительной оси. Интегрируя этот степенной ряд, получаем:

П р и м е р   4. Ряд Тейлора для функции  имеет вид (см. § 4.16)

.

Он сходится на . Интегрируя этот степенной ряд, получим интеграл Френеля

.

П р и м е р   5. Так как

то

поэтому ряд Тейлора функции  запишется так:

.                         (15)

Так как этот степенной ряд сходится на всей действительной оси (применить признак Даламбера), то можно его почленно дифференцировать:

                          (16)

(ряд справа в (16) равномерно сходится на любом конечном интервале).