Главная > Высшая математика Т2
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 7.4. Кривизна и радиус кривизны кривой. Эволюта и эвольвента

Кривизной окружности радиуса  называется число . Это число можно также получить как отношение угла между касательными в концах какой-нибудь дуги окружности к длине дуги. Угол  между касательными к окружности в точках  и  равен центральному углу  между радиусами  и . Длина  дуги  равна . Поэтому (рис. 85)

.

Последнее определение кривизны окружности дает идею определения кривизны произвольной гладкой кривой .

Рассмотрим плоскую гладкую кривую . Как мы показали в § 7.3, она спрямляема и имеет смысл говорить о длине любой ее дуги . Угол   между касательными к  в точках и  называется углом смежности дуги . Отношение угла смежности дуги  к ее длине называется средней кривизной дуги  (рис. 86). Наконец, кривизной кривой  в ее точке  называется предел (конечный или бесконечный) отношения угла смежности  дуги  кривой к ее длине , когда последняя стремится к нулю:

.                                      (1)

Рис. 85                                                Рис. 86

Таким образом, .  По определению, величина  (где считается, что ) называется радиусом кривизны  в точке .

Точка , лежащая на нормали к  в точке  на расстоянии  от в сторону вогнутости ,  называется центром кривизны  в точке  (рис. 87 и 88) .  Очевидно, что центр окружности совпадает с центром ее кривизны.

Рис. 87                                            Рис. 88

Кривая , являющаяся геометрическим местом центров  кривизны плоской кривой , называется эволютой . Сама кривая  называется эвольвентой .

Пусть кривая  задана функцией  , имеющей непрерывную вторую производную. Найдем ее кривизну в точке . Пусть  и  - углы, которые составляют касательные к  в точках  и  с положительным направлением оси  (см. рис. 86)

,

.                  (2)

Далее

.                   (3)

Поэтому из (1), применяя правило Лопиталя (по ), получаем

.

Мы получили формулу для кривизны

.                                    (4)

Если гладкая кривая  задана параметрически

,

где  и  - дважды непрерывно дифференцируемые функции, то, пользуясь правилом дифференцирования параметрически заданных функций, получим (см. § 4.11)

,             

.                        (5)

Найдем параметрическое уравнение эволюты  кривой , заданной уравнением (рис. 87, 88)  . Имеем (см. (4))

.            (6)

Центр кривизны  кривой  в ее точке  пусть имеет координаты . Он определяется вектором

,                                     (7)

где  - радиус-вектор точки , а  - единичный вектор нормали, направленный в сторону вогнутости . Кривая  имеет векторное уравнение

.

Отсюда

.

Далее (см. § 4.23, (3’)),

.

Знак надо выбрать так, чтобы вектор  был направлен в сторону вогнутости , т. е. чтобы скалярное произведение  имело положительный знак:

.

Итак

.                      (8)

Переходя в равенстве (7) к проекциям, учитывая (6) и (8), получим

,

.           (9)

Докажем, что нормаль к кривой (эвольвенте) в точке  является касательной к эволюте  в точке . Достаточно для этого доказать, что касательные  к кривой  и к эволюте  в соответствующих точках ортогональны (перпендикулярны):

.

Другое важное свойство эволюты заключается в следующем. Приращение радиуса кривизны эвольвенты равно с точностью до знака приращению длины соответствующей дуги эволюты:

.

На доказательстве этого свойства мы не останавливаемся.

Представим себе нить, навернутую на эволюту. Пусть она сматывается с последней, будучи все время натянутой.  Отделяясь от эволюты, она, очевидно, все время будет касаться эволюты. Свободный же ее конец будет описывать эвольвенту (рис. 89). Так как длина нити может быть произвольной, то эволюта порождает бесконечно много эвольвент. Длина, на которую сматывается нить с эволюты, равна, очевидно, приращению радиуса кривизны эвольвенты. Если кривая  задана параметрически: , то эволюта определяется уравнениями

              (10)

(см. § 4.11).

Рис. 89

П р и м е р   1. Эволюта циклоиды  есть кривая  . Полагая , получим уравнения

,

определяющие исходную кривую, но только сдвинутую (эволюта циклоиды есть циклоида, конгруэнтная исходной, рис. 90).

Рис. 90                                                      Рис. 91

П р и м е р   2. Эволюта эллипса   есть астроида (рис. 91)

.

 

1
Оглавление
email@scask.ru