§ 4.2. Геометрический смысл производной

Пусть на интервале  задана непрерывная функция . Ее график называется непрерывной кривой. Обозначим его через . Зададим на  точку  (рис. 37 и 38) и поставим целью определить касательную к  в этой точке. Для этого введем на  другую точку , где  (на  рис. 37 изображен случай , а на рис. 38 – случай ). Прямую, проходящую через точки  и , направленную в сторону возрастания  (отмеченную стрелкой), назовем секущей  и обозначим через  .

Рис. 37                                                 Рис. 38

Угол, который  образует с положительным направлением оси , обозначим через . Мы считаем, что .  При  угол отсчитывается от оси  против часовой стрелки, а при  -  по часовой стрелке. На данных рисунках . На рис. 37 , , а на рис. 38 , . В обоих случаях .

Если , то  и точка , двигаясь по , стремится к . Если при этом угол  стремится к некоторому значению , отличному от  и , то существует предел

,                                                (1)

равный производной (конечной) от  в точке :

.                                                           (2)

Обратно, если существует (конечная) производная , то .

При стремлении  к  секущая  стремится занять положение направленной прямой , проходящей через точку  и образующей угол  с положительным направлением оси .

Направленная прямая   называется касательной к кривой  в ее точке .

О п р е д е л е н и е. Касательной к кривой  в ее точке  называется направленная прямая , к которой  стремится секущая (направленная в сторону возрастания  прямая), проходящая через  и точку , когда .

Мы доказали, что если непрерывная функция  имеет конечную производную  в точке , то ее график  в соответствующей точке имеет касательную с угловым коэффициентом  . Обратно, существование предела

влечет за собой существование конечной производной  и справедливость равенств (1), (2).

Рис. 39

Может случиться, что  имеет в точке  правую и левую производные, отличные между собой:

.

Тогда  есть угловая точка . В этом случае касательная  в  не существует, но можно говорить, что существует правая и левая касательные с разными угловыми коэффициентами:

.

На рис. 39 приведен пример такого случая.

Пусть теперь производная от  в точке  бесконечна:

.

Отметим четыре важных случая:

1)     (рис. 40).

2)  (рис. 41).

Рис. 40                                         Рис. 41

3) ,     .

Левая касательная перпендикулярна оси  и направлена вниз. Правая касательная перпендикулярна оси  и направлена вверх (рис. 42).

4) ,        .

Левая и правая касательные перпендикулярны параллельно  оси ,  первая вверх, вторая вниз  (рис. 43).

Рис. 42                                         Рис. 43

П р и м е ч а н и е.  Обычное определение касательной к кривой  следующее: касательная   к кривой  в ее точке  есть прямая, к которой стремится секущая , проходящая через точку  и другую точку , когда последняя, двигаясь по , стремится к .

В этом определении не предполагается, что  и  - направленные прямые. Это определение вполне корректно в случае касательной на параллельной оси . Однако, если применить его, например, к случаю 4) (см. рис. 43, где  - угловая точка), то получим, что данная кривая имеет в точке  единственную касательную. Это не вяжется с нашим представлением о гладкости кривой, имеющей касательную.

Приведенное нами определение дает в точке  две касательные (сливающиеся), имеющие противоположные направления.  Угол между ними равен .

Из аналитической геометрии известно, что уравнение прямой (в плоскости), проходящей через точку  под углом  к положительному направлению оси  , имеет вид . Отсюда уравнение касательной к кривой  в точке  имеет вид

                                         (3)

где , .

Прямая, проходящая через точку  перпендикулярна к касательной к  в этой точке, называется нормалью к  в точке . Ее уравнение, очевидно, имеет вид

                                          (4)

П р и м е р  1.

Найти уравнение касательной к кривой

                                    (5)

в некоторой ее точке , т. е. .

Кривая (5) называется эллипсом. Очевидно, что эллипс расположен симметрично относительно осей координат, так как его уравнение не меняется при замене  на  и  на . При выводе уравнения касательной будем считать, что , . Из (5) имеем

.                                          (5’)

Отсюда .

Вычислим функцию  и производную  в точке :

,

.                                         (6)

Уравнение касательной к эллипсу в точке :

.                                  (7)

Умножая (7) на , в силу (6) будем иметь

.

Так как у нас , то уравнение касательной запишется:

.                                         (8)

Таким образом, чтобы получить уравнение касательной к эллипсу в его точке ,  нужно в уравнении эллипса (5) заменить  на , и  на .

Рис. 44

При  отрицательных значениях   рассуждения те же самые и (8) будет уравнением касательной в любой точке эллипса . Из уравнения (8) видно, что касательная к эллипсу в его точке  пересекает ось  в точке с абсциссой , т. е. при  эта точка пересечения находится правее эллипса, а при  - левее (рис. 44).

П р и м е р  2. Найти уравнение касательной к кривой

                                       (9)

в некоторой ее точке  .

Кривая (9) называется гиперболой. Эта кривая также симметрична относительно осей координат.

Проводя рассуждения, как в примере 1, получим уравнение касательной к гиперболе в виде

.

Точка пересечения этой касательной с осью  имеет абсциссу  , т. е. эта точка пересечения находится в  для  и в  для  (рис. 45).

Рис. 45                                               Рис. 46

П р и м е р  3. Найти уравнение касательной к кривой

                                   (10)

в некоторой ее точке  .

Данная кривая называется параболой.  Она расположена симметрично относительно оси  (т. е. в (10)  является четной функцией от ). В силу этого достаточно рассмотреть верхнюю половину параболы . Из (10) имеем

                                            (10’)

Отсюда

.  

Уравнение касательной к параболе в точке :

или

.

Так как , то

.                                            (11)

Таким образом, чтобы получить уравнение касательной к параболе в ее точке , нужно в уравнении параболы (10) заменить  на , а  на .

Касательная (11) к параболе (10’) в ее точке  пересекает ось  в точке с абсциссой  (рис. 46) независимо от величины , т. е. касательные к любым параболам  в точке   пересекают ось  в одной и той же точке .