Глава 8. Дифференциальное исчисление функций многих переменных

§ 8.1. Предварительные сведения

Понятие функции многих переменных введено в § 3.1.2. Нам предстоит построить дифференциальное исчисление для функций многих переменных. Основные сведения мы излагаем для функций двух переменных. Полученные результаты легко распространяются по аналогии на случай большего числа переменных. Мелким шрифтом излагается -мерный случай.

Итак, мы будем рассматривать пространство (плоскость)  точек . Зададим в точку .

Множество точек , координаты которых удовлетворяют неравенству

,

называется открытым кругом радиуса  с центром в точке .

Множество же точек , координаты которых удовлетворяют неравенствам

,

называется открытым прямоугольником.

Если , то открытый прямоугольник обращается в открытый квадрат с центром в точке  с длиной стороны :

.

Любой открытый круг радиуса  или квадрат со стороной длины  с центром в точке  называется окрестностью или - окрестностью этой точки.

Если задана последовательность точек

,

то будем еще говорить, что переменная точка

пробегает значения этой последовательности.

Говорят также, что последовательность точек  или переменная точка  стремится к точке  при :

.                         (1)

При этом пишут

.

Свойство (1) эквивалентно, очевидно, следующим двум свойствам:

,                                        (1’)

которые должны выполняться одновременно.

Свойство (1) можно выразить еще такими словами: для всякого  найдется натуральное число  такое, что точка  окажется в открытом круге радиуса  с центром в  для всех .

Свойство же (1’) можно выразить так: для всякого  найдется натуральное число  такое, что точка  окажется в открытом квадрате со стороной длины  и центром  для всех .

Обе эти формулировки можно объединить, сказав, что для всякого  найдется натуральное число  такое, что точка  окажется в - окрестности точки  для всех .

В -мерном евклидовом пространстве  расстояние между точками  и  определяется по формуле

.

В  множество точек , для которых выполняется неравенство

,

называется -мерным открытым шаром радиуса  с центром в точке .

Множество же точек , координаты которых удовлетворяют неравенствам

,

где  - заданные положительные числа, называется -мерным открытым прямоугольником (параллелепипедом).

Если

,

то параллелепипед превращается в -мерный открытый куб с центром в точке  и ребром длины .

Любой открытый -мерный шар радиуса  или куб с центром в точке  и длиной ребра  называется -мерной  -окрестностью точки .

Последовательность точек в

определяет переменную точку

.

Переменная точка  стремится к точке , если расстояние между этими точками стремится к нулю при :

.           (2)

Свойство (2) эквивалентно следующим  свойствам, которые должны выполняться одновременно:

.    (2’)

Свойство (2) или (2’) можно выразить еще словами: для всякого  можно указать натуральное  число  такое, что для всех  переменная точка  окажется принадлежащей -окрестности точки .