§ 8.17. Системы функций, заданных неявно

Выше мы рассмотрели вопрос о существовании непрерывной и дифференцируемой неявной функции, определяемой одним уравнением.

Здесь мы рассмотрим аналогичный вопрос для совокупности неявных функций , определяемых системой уравнений

                          (1)

Таким образом, мы ищем функции  от  , как решения системы (1): .

Выясним те условия, которые обеспечивают существование решения системы (1) и дифференцируемость функций .

Т е о р е м а  1. Пусть задана система уравнений (1), удовлетворяющая следующим свойствам.

Функции  определены на некоторой  (-мерной) окрестности  точки  пространства  точек  и непрерывны там вместе со своими частными производными первого порядка с якобианом (определителем Якоби)

.           (2)

Кроме того, точка  удовлетворяет системе (1).

Пусть  есть множество всех точек , удовлетворяющих системе (1) (в частности  ).

Тогда, каково бы ни было , найдется прямоугольник

,   (3)

принадлежащий , такой, что множество  описывается непрерывно дифференцируемыми функциями

,                             (4)

.                                (5)

Другими словами, прямоугольник  обладает тем свойством, что на его проекции  на координатное подпространство  можно определить непрерывно дифференцируемые функции (4), удовлетворяющие уравнениям (1):

и неравенствам . Эти функции единственны в том смысле, что любая точка  имеет координаты, связанные уравнениями (4).

В частности , потому что .

З а м е ч а н и е  1. В теореме можно считать, что прямоугольник  и его проекция  определяются неравенствами

,       (3*)

                         (5*)

с различными, вообще говоря, числами . Ведь если теорема верна для прямоугольника (3*) при некоторых , то, положив , можно вследствие непрерывности функций  указать такое число , что точки

окажутся в прямоугольнике (3).

Заметим, однако, что вообще невозможно добиться, чтобы  и  в (3) были равными, в чем легко убедиться на примере одного уравнения .

Приведем доказательство теоремы 1 только для частного случая двух уравнений

                   (1’)

Нам надо доказать, что если функции  и  непрерывно дифференцируемы в некоторой окрестности точки , удовлетворяющей уравнениям (1’),  и якобиан

                                      (2’)

в , то для любого  найдется прямоугольник

,     (3’)

принадлежащий указанной окрестности, и существуют непрерывно дифференцируемые функции

,                    (4’)

определенные на его проекции

                             (5’)

такие, что они удовлетворяют уравнениям (1’) и обладают свойствами

.

При этом для

.                       (6)

Указанные функции  - единственные, описывающие все решения уравнений (1’)  в прямоугольнике ; иначе говоря, если какая-либо точка  удовлетворяет уравнениям (1’), то ее координаты связаны соотношениями (4’).

Из того, что якобиан (2’) не равен нулю в , следует, что один из его элементов не равен нулю в . Не нарушая общности, считаем, что

.                        (7)

К этому неравенству всегда можно прийти, соответственно перенумеровав в случае необходимости  и .

Так как частные производные от  и  по условию непрерывны, то существует достаточно малая окрестность точки  , на которой не только якобиан (2’), но и производная  не равны нулю. Но тогда для первого уравнения (1’), если его рассматривать относительно неизвестной функции  от , выполняются условия теоремы 1’ § 8.15. Поэтому для любого  существует прямоугольник

         (8)

и непрерывно дифференцируемая функция

,                                              (9)

,

удовлетворяющая первому уравнению (1’):

,                  (10)

где

.              (11)

При этом функция  единственна в том смысле, что любая точка , принадлежащая к  и удовлетворяющая первому уравнению (1’), имеет координаты, связанные равенством (9); в частности,

.                            (12)

З а м е ч а н и е  2. Отметим, что в (8) мы могли бы на первом этапе рассуждений считать . Но в дальнейшем придется числа  несколько уменьшить, вообще говоря, непропорционально. Уменьшенные  и  пригодны и для рассматриваемого первого этапа рассуждений.

Итак, мы получили тождество (10), верное, каковы бы ни были независимые . Но это тождество остается верным и если считать, что  есть любая непрерывно дифференцируемая функция , такая, однако, чтобы

.                                 (13)

Но таких функций  бесконечное множество. Цель наша выбрать среди них такую, чтобы функции

             (14)

тождественно удовлетворяли второму уравнению (1’). Первому уравнению (1’) они уже удовлетворяют. Итак, подставим найденную функцию  во второе из уравнений (1’):

                  (15)

и будем искать функцию  от , ему удовлетворяющую. Положим

.

Функция  непрерывно дифференцируема для любых  (см. (11)).  Она удовлетворяет равенствам

(см. условие теоремы и (12)). Кроме того,

.

В самом деле, для точек  (пояснения ниже)

.        (16)

В первом равенстве (16) применено правило о производной сложной функции, во втором надо учесть, что, согласно (10),

.

Конечно, там где мы пишем частные производные от  и , считается, что они вычисляются в точках . В последнем соотношении (16) надо учесть (2’) и (7).

Мы видим, что левая часть уравнения (15) удовлетворяет всем условиям теоремы 1’ § 8.15. Поэтому в прямоугольнике  (см. (9)) найдется новый, вообще говоря, меньший прямоугольник, который мы снова обозначим через  (см. выше замечание 2), и найдется непрерывно дифференцируемая функция

,

удовлетворяющая уравнению (15):

,

.

При этом любая точка , удовлетворяющая уравнению (15), имеет координаты, связанные равенством . Но тогда выполняется такое соотношение (см. (11)):

.

Итак, доказано существование непрерывно дифференцируемых функций

,

удовлетворяющих обоим уравнениям (1’) и притом так, что

.

При этом

                      (17)

и любая точка , удовлетворяющая уравнениям (1’), имеет вид, как в (17).

Переход от  к  можно осуществить с помощью замечания 1.

З а м е ч а н и е   3. Укажем способ нахождения частных производных .

Пусть все условия теоремы 1 выполнены. Тогда, подставляя функции  в (1), получим систему тождеств:

               (18)

Дифференцируя по  каждое тождество системы (18) как сложную функцию, получим:

                         (19)

Система (19) является линейной относительно неизвестных производных . Определителем ее является якобиан

.

Поэтому система (19) имеет единственное решение: