Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 8.17. Системы функций, заданных неявноВыше мы рассмотрели вопрос о существовании непрерывной и дифференцируемой неявной функции, определяемой одним уравнением.
Здесь мы рассмотрим аналогичный
вопрос для совокупности неявных функций
Таким образом, мы ищем функции Выясним те условия, которые
обеспечивают существование решения системы (1) и дифференцируемость функций Т е о р е м а 1. Пусть задана система уравнений (1), удовлетворяющая следующим свойствам. Функции
Кроме того, точка Пусть Тогда, каково бы ни было
принадлежащий
Другими словами, прямоугольник
и неравенствам В частности З а м е ч а н и е 1. В теореме
можно считать, что прямоугольник
с различными, вообще говоря,
числами
окажутся в прямоугольнике (3). Заметим, однако, что вообще
невозможно добиться, чтобы Приведем доказательство теоремы 1 только для частного случая двух уравнений
Нам надо доказать, что если
функции
в
принадлежащий указанной окрестности, и существуют непрерывно дифференцируемые функции
определенные на его проекции
такие, что они удовлетворяют уравнениям (1’) и обладают свойствами
При этом для
Указанные функции Из того, что якобиан (2’) не
равен нулю в
К этому неравенству всегда можно
прийти, соответственно перенумеровав в случае необходимости Так как частные производные от
и непрерывно дифференцируемая функция
удовлетворяющая первому уравнению (1’):
где
При этом функция
З а м е ч а н и е 2. Отметим,
что в (8) мы могли бы на первом этапе рассуждений считать Итак, мы получили тождество (10),
верное, каковы бы ни были независимые
Но таких функций
тождественно удовлетворяли
второму уравнению (1’). Первому уравнению (1’) они уже удовлетворяют. Итак,
подставим найденную функцию
и будем искать функцию
Функция
(см. условие теоремы и (12)). Кроме того,
В самом деле, для точек
В первом равенстве (16) применено правило о производной сложной функции, во втором надо учесть, что, согласно (10),
Конечно, там где мы пишем частные
производные от Мы видим, что левая часть
уравнения (15) удовлетворяет всем условиям теоремы 1’ § 8.15. Поэтому в
прямоугольнике
удовлетворяющая уравнению (15):
При этом любая точка
Итак, доказано существование непрерывно дифференцируемых функций
удовлетворяющих обоим уравнениям (1’) и притом так, что
При этом
и любая точка Переход от З а м е ч а н и е 3. Укажем способ нахождения частных
производных Пусть все условия теоремы 1
выполнены. Тогда, подставляя функции
Дифференцируя по
Система (19) является линейной
относительно неизвестных производных
Поэтому система (19) имеет единственное решение:
|
1 |
Оглавление
|