Главная > Высшая математика Т2
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 8.17. Системы функций, заданных неявно

Выше мы рассмотрели вопрос о существовании непрерывной и дифференцируемой неявной функции, определяемой одним уравнением.

Здесь мы рассмотрим аналогичный вопрос для совокупности неявных функций , определяемых системой уравнений

                          (1)

Таким образом, мы ищем функции  от  , как решения системы (1): .

Выясним те условия, которые обеспечивают существование решения системы (1) и дифференцируемость функций .

Т е о р е м а  1. Пусть задана система уравнений (1), удовлетворяющая следующим свойствам.

Функции  определены на некоторой  (-мерной) окрестности  точки  пространства  точек  и непрерывны там вместе со своими частными производными первого порядка с якобианом (определителем Якоби)

.           (2)

Кроме того, точка  удовлетворяет системе (1).

Пусть  есть множество всех точек , удовлетворяющих системе (1) (в частности  ).

Тогда, каково бы ни было , найдется прямоугольник

,   (3)

принадлежащий , такой, что множество  описывается непрерывно дифференцируемыми функциями

,                             (4)

.                                (5)

Другими словами, прямоугольник  обладает тем свойством, что на его проекции  на координатное подпространство  можно определить непрерывно дифференцируемые функции (4), удовлетворяющие уравнениям (1):

и неравенствам . Эти функции единственны в том смысле, что любая точка  имеет координаты, связанные уравнениями (4).

В частности , потому что .

З а м е ч а н и е  1. В теореме можно считать, что прямоугольник  и его проекция  определяются неравенствами

,       (3*)

                         (5*)

с различными, вообще говоря, числами . Ведь если теорема верна для прямоугольника (3*) при некоторых , то, положив , можно вследствие непрерывности функций  указать такое число , что точки

окажутся в прямоугольнике (3).

Заметим, однако, что вообще невозможно добиться, чтобы  и  в (3) были равными, в чем легко убедиться на примере одного уравнения .

Приведем доказательство теоремы 1 только для частного случая двух уравнений

                   (1’)

Нам надо доказать, что если функции  и  непрерывно дифференцируемы в некоторой окрестности точки , удовлетворяющей уравнениям (1’),  и якобиан

                                      (2’)

в , то для любого  найдется прямоугольник

,     (3’)

принадлежащий указанной окрестности, и существуют непрерывно дифференцируемые функции

,                    (4’)

определенные на его проекции

                             (5’)

такие, что они удовлетворяют уравнениям (1’) и обладают свойствами

.

При этом для

.                       (6)

Указанные функции  - единственные, описывающие все решения уравнений (1’)  в прямоугольнике ; иначе говоря, если какая-либо точка  удовлетворяет уравнениям (1’), то ее координаты связаны соотношениями (4’).

Из того, что якобиан (2’) не равен нулю в , следует, что один из его элементов не равен нулю в . Не нарушая общности, считаем, что

.                        (7)

 

К этому неравенству всегда можно прийти, соответственно перенумеровав в случае необходимости  и .

Так как частные производные от  и  по условию непрерывны, то существует достаточно малая окрестность точки  , на которой не только якобиан (2’), но и производная  не равны нулю. Но тогда для первого уравнения (1’), если его рассматривать относительно неизвестной функции  от , выполняются условия теоремы 1’ § 8.15. Поэтому для любого  существует прямоугольник

         (8)

и непрерывно дифференцируемая функция

,                                              (9)

,

удовлетворяющая первому уравнению (1’):

,                  (10)

где

.              (11)

При этом функция  единственна в том смысле, что любая точка , принадлежащая к  и удовлетворяющая первому уравнению (1’), имеет координаты, связанные равенством (9); в частности,

.                            (12)

З а м е ч а н и е  2. Отметим, что в (8) мы могли бы на первом этапе рассуждений считать . Но в дальнейшем придется числа  несколько уменьшить, вообще говоря, непропорционально. Уменьшенные  и  пригодны и для рассматриваемого первого этапа рассуждений.

Итак, мы получили тождество (10), верное, каковы бы ни были независимые . Но это тождество остается верным и если считать, что  есть любая непрерывно дифференцируемая функция , такая, однако, чтобы

.                                 (13)

Но таких функций  бесконечное множество. Цель наша выбрать среди них такую, чтобы функции

             (14)

тождественно удовлетворяли второму уравнению (1’). Первому уравнению (1’) они уже удовлетворяют. Итак, подставим найденную функцию  во второе из уравнений (1’):

                  (15)

и будем искать функцию  от , ему удовлетворяющую. Положим

.

Функция  непрерывно дифференцируема для любых  (см. (11)).  Она удовлетворяет равенствам

(см. условие теоремы и (12)). Кроме того,

.

В самом деле, для точек  (пояснения ниже)

.        (16)

В первом равенстве (16) применено правило о производной сложной функции, во втором надо учесть, что, согласно (10),

.

Конечно, там где мы пишем частные производные от  и , считается, что они вычисляются в точках . В последнем соотношении (16) надо учесть (2’) и (7).

Мы видим, что левая часть уравнения (15) удовлетворяет всем условиям теоремы 1’ § 8.15. Поэтому в прямоугольнике  (см. (9)) найдется новый, вообще говоря, меньший прямоугольник, который мы снова обозначим через  (см. выше замечание 2), и найдется непрерывно дифференцируемая функция

,

удовлетворяющая уравнению (15):

,

.

При этом любая точка , удовлетворяющая уравнению (15), имеет координаты, связанные равенством . Но тогда выполняется такое соотношение (см. (11)):

.

Итак, доказано существование непрерывно дифференцируемых функций

,

удовлетворяющих обоим уравнениям (1’) и притом так, что

.

При этом

                      (17)

и любая точка , удовлетворяющая уравнениям (1’), имеет вид, как в (17).

Переход от  к  можно осуществить с помощью замечания 1.

З а м е ч а н и е   3. Укажем способ нахождения частных производных .

Пусть все условия теоремы 1 выполнены. Тогда, подставляя функции  в (1), получим систему тождеств:

               (18)

Дифференцируя по  каждое тождество системы (18) как сложную функцию, получим:

                         (19)

Система (19) является линейной относительно неизвестных производных . Определителем ее является якобиан

.

Поэтому система (19) имеет единственное решение:

 

1
Оглавление
email@scask.ru