§ 5.3. Комплексные числа

Комплексными числами называются выражения

,

где  -  действительные числа, а  - специальный символ; при этом для комплексных чисел  введены понятии равенства и арифметические операции по следующим правилам:

1)  тогда и только тогда, когда ; .

2) .

3) .

4) .

Из  и  следует, что

.

Таким образом, введенные операции сложения и умножения обладают свойствами коммутативности , ассоциативности  , , дистрибутивности .

Можно еще сказать, что с комплексными числами можно оперировать в точности так же, как мы привыкли оперировать с буквенными выражениями в алгебре, но при этом операции упрощаются тем, что .

Из свойства   следует, что множество комплексных чисел содержит в себе как часть множество всех действительных чисел. При этом легко видеть, что применение арифметических действий  к выражениям  приводит соответственно к .

Число  называется сопряженным к комплексному числу . Действительное число  называется  модулем комплексного  числа . Очевидно, что .

Если комплексное число  трактовать как точку (вектор)  плоскости , то  равен расстоянию точки  от начала координат (рис. 74).

Рис. 74

Если на плоскости ввести полярные координаты , то

.                          (1)

В силу этого, комплексное число  можно записать в форме

,                                              (2)

где  - модуль числа ,  - угол (в радианах), который составляет вектор  с положительным направлением оси . Этот угол называют еще аргументом комплексного числа  и обозначают символом .

Очевидно,  есть однозначная функция от . Вводят еще и многозначную функцию (аргумент  с большой буквы)

,

которая дает все значения , для которых для данного  удовлетворяются два равенства (1).

Число  единственное, для которого не имеет смысла его аргумент, но зато его можно определить как число, модуль которого равен нулю .

  (с малой буквы) называют еще аргументом в приведенной форме. Иногда бывает удобно считать аргументом в приведенной форме угол, принадлежащий к другому полуинтервалу  длины , например .

Числа  и  называют действительной и мнимой частями  и обозначают символами . Таким образом,

.

Если , то множество точек  плоскости , удовлетворяющих равенству , есть окружность радиуса  с центром в начале координат.

По определению

.                 (3)

Очевидно, что  есть комплексная функция  (принимающая комплексные значения) от действительного аргумента . Ясно, что  - периодическая функция периода : .

Так как , то при непрерывном изменении  на полуинтервале , точка  непрерывно описывает окружность радиуса 1 с центром в точке .

Справедливы равенства

.                          (4)

В самом деле,

,

.

Для произвольной комплексной переменной  функция  определяется при помощи равенства

.

Отсюда в силу (3)

.                                         (5)

На основании (2), (3) всякое комплексное число  можно представить в форме

,                                                    (6)

где неотрицательное число  для данного  единственно, а при  угол

определен с точностью до  .

Выражения (2) и (6) называются соответственно тригонометрической и показательной формами комплексного числа .

Приведем примеры комплексных чисел, записанных в показательной форме (считая ):

,

.

Из равенств (3), (4) легко получаем формулу Муавра

.        (7)

Справедливо также равенство

,

т. е. при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются независимо от того, в какой форме они взяты – в приведенной или нет.

Операция построения сопряженного комплексного числа обладает следующими простыми свойствами:

.    (8)

В самом деле,

;

далее, так как

,

то

.

Подобное доказательство имеет место и в случае частного.

Рассмотрим задачу о вычислении корня -й степени из числа . Требуется, таким образом, найти все числа  такие, что . Но тогда  и, вследствие единственности представления комплексного числа в показательной форме, . Из первого равенства следует  ( - арифметическое значение корня -й степени из положительного        числа ).  Из второго же, что  .

Так как функция  периодическая с периодом , то значения , дающие существенно различные корни -й степени из , соответствуют только  значениям :

.                    (9)

Остальным целым  соответствуют значения , отличающиеся от одного из значений (9) на величину, кратную .

Мы доказали, что у комплексного числа  существует  (и только ) корней степени , записываемых по формуле

,

где  определяются равенствами (9).

П р и м е р ы:

.   .

.   .

.    .

     .