Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
§ 4.3. Производные элементарных функций
Постоянная 
- каждому 
соответствует одно
и то же значение 
.
Таким образом, значению 
соответствует значение функции 
. Следовательно,
.
(1)
Степенная функция 
.
,
(2)
потому что
.
Справедливы формулы
,
(3)
, (4)
(5)
Здесь предполагается, что 
, 
- функции от , имеющие
производную в точке . В случае (5) дополнительно
предполагается, что 
. Утверждается, что в таком случае, в
точке существуют
производные, стоящие слева в равенствах (3), (4), (5), и эти равенства верны.
В самом деле,
зададим 
.
Новому значению 
аргумента
соответствуют новые значения наших функций 
, 
и
,
.
Далее (пояснения ниже),
,
.
Надо учесть, что функция 
, как имеющая
производную, непрерывна, и потому 
при 
.
Наконец,
.
Снова надо учесть, что 
при , потому что функция
, как
имеющая производную, непрерывна.
Рассмотрим функцию 
.
,
(6)
потому что
.
Надо учесть, что функция 
непрерывна.
Аналогично доказывается, что
,
(7)
,
(8)
.
(9)
В самом деле, например,
.
Для функции 
имеем
.
Используя замечательный предел
,
получаем
.
(10)
В частности,
.
(10’)
