§ 8.15. Теорема существования неявной функции

Зададим произвольную функцию  от двух переменных  и . Приравняем ее к нулю:

.                                        (1)

Множество всех точек , для которых выполняется равенство (1), обозначим через . Пусть , т. е. .

Если не накладывать никаких условий на , то множество  может иметь самую различную природу. Например, в случае  множество  состоит из одной единственной точки ,  а в случае  множество  пусто, в случае же   есть пара прямых, проходящих через . Однако часто имеют место случаи, когда , по крайней мере в достаточно малой окрестности , представляет собой кривую, описываемую непрерывной (однозначной) функцией

(таким образом,  есть функция, определяемая неявно уравнением (1), см. также § 3.1).

Возникает вопрос, как по свойствам функции  узнать, что имеет место именно этот случай?

Ниже доказываются две общие теоремы, отвечающие на поставленный вопрос.

Т е о р е м а   1. Пусть задано уравнение

,                                        (1)

удовлетворяющее следующим свойствам.

Функция  определена на некоторой двумерной окрестности  точки  плоскости  и непрерывна там вместе со своими частными производными первого порядка; при этом

                         (2)

и . Пусть, далее,   есть множество всех точек , удовлетворяющих уравнению (1) (в частности, точка ).

Тогда, каково бы ни было , найдется прямоугольник

,     (3)

принадлежащий  такой, что множество  описывается непрерывно дифференцируемой функцией (неявной функцией)

,                         (4)

.                             (5)

Другими словами, прямоугольник  обладает тем свойством, что на его проекции  на ось  можно определить непрерывно дифференцируемую функцию (4), являющуюся решением уравнения (1), т. е. удовлетворяющую уравнению (1)

.           (6)

График ее полностью принадлежит . Эта функция единственна в том смысле, что любая точка  имеет координаты, связанные уравнением (4). В частности, , потому что  (рис. 99).

Рис. 99

Д о к а з а т е л ь с т в о   т е о р е м ы    1. Пусть для определенности . Так как   непрерывна на , то существует окрестность точки ,  которую мы снова обозначим через , такая, что в ней  . Введем замкнутый прямоугольник

.

Тогда  на   и

.                     (7)

Функция , рассматриваемая на отрезке , как функция от  непрерывна, строго возрастает и обращается в нуль в точке  (по условию теоремы ). Значит,

.

 Вследствие непрерывности  найдется достаточно малое число ,  , такое, что

.

Обозначим через  открытый прямоугольник. Очевидно,  и  есть проекция  на ось .

Рассмотрим теперь для произвольного и фиксированного  функцию  как функцию от  на отрезке . Она непрерывна, строго возрастает  и имеет противоположные знаки на его концах. Но тогда по теореме о промежуточном значении существует и притом единственное число , принадлежащее интервалу , мы его обозначим через , для которого .

Этим доказано существование определенной на  функции  , удовлетворяющей уравнению (6).

Докажем, что функция  непрерывна на . Пусть  . Тогда на основании формулы Тейлора (§ 8.10) имеем:

,

где . Отсюда

,                     (8)

где точка . В силу условия теоремы на замкнутом прямоугольнике , а следовательно, и на прямоугольнике , функция  ограничена , а по (7) функция  ограничена снизу числом , поэтому из (8) получаем, что

,

т. е.  при , что означает непрерывность функции  в точке . Так как точка  - произвольная точка , то функция  непрерывна на .

Теперь, переходя к пределу в (8) при , получаем (по доказанному  также )

.                    (9)

Мы доказали существование производной  в точке  и равенство

.                                         (10)

Непрерывность  непосредственно видна из (10), потому что  и  непрерывны на прямоугольнике , а кривая  не выходит за его пределы и является непрерывной, как мы доказали выше.

Сформулируем теорему, аналогичную теореме 1, в случае, когда неявная функция зависит от  переменных.

Т е о р е м а   1’. Пусть задано уравнение

,               (1’)

удовлетворяющее следующим условиям.

Функция  определена на некоторой окрестности  точки   пространства  точек  и непрерывна там вместе со своими частными производными первого порядка; при этом

.           (2’)

Пусть, далее,  есть множество всех точек, , удовлетворяющих уравнению (1’)  (в частности, ).

Тогда, каково бы ни было , найдется в  прямоугольник

,     (3’)

принадлежащий , такой, что множество  описывается непрерывно дифференцируемой функцией (т. е. имеющей непрерывные частные производные)

,                                     (4’)

                                            (5’)

Частные производные от функции  вычисляются по формуле

.                                       (10’)

Если функция  (в случае теорем 1 и 1’) имеет непрерывные производные более высокого порядка , то и неявная функция имеет производные порядка , которые можно найти, дифференцируя  раз формулу (10) или  (10’).

П р и м е р. Пусть известно, что функция , рассмотренная в теореме 1, имеет непрерывные частные производные второго порядка. Будем исходить из равенства (10). Дифференцируя его по , получим

.

Мы использовали формулу дифференцирования сложной функции.