Глава 5. неопределенные интегралы

§ 5.1. Неопределенный интеграл. Таблица интегралов

В предыдущей главе мы ввели понятие производной и научились находить производную от элементарных функций. Здесь мы будем решать обратную задачу, а именно: известна производная  от функции , требуется найти саму функцию .

С точки зрения механической это означает, что по известной скорости движения материальной точки необходимо восстановить закон ее движения.

О п р е д е л е н и е. Функция  называется первообразной функцией для функции  на интервале , если  дифференцируема на  и .

Аналогично можно определить понятие первообразной и на отрезке , но в точках  и  надо рассматривать односторонние производные.

П р и м е р   1.  есть первообразная для функции  на , так как .

П р и м е р   2.  есть первообразная для функции  на , так как .

Т е о р е м а  1. Если  - первообразная для функции  на , то  - также первообразная, где  - любое постоянное число.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Имеем .

Т е о р е м а  2. Если  и  - две первообразные для   на , то  на , где  - некоторая постоянная.

Д о к а з а т е л ь с т в о. По условию . Составим функцию . Очевидно, что  . Отсюда по известной теореме (см. теорему 6 § 4.12) заключаем, что , т. е. , что и требовалось доказать.

Таким образом, из теорем 1, 2  вытекает, что если  - первообразная для  на , то любая другая первообразная  для  на  имеет вид

,                                          (1)

где  - некоторая постоянная (рис. 73).

Рис. 73

О п р е д е л е н и е. Произвольная первообразная для  на  называется неопределенным интегралом от функции  и обозначается символом

.                                              (2)

Знак называется интегралом,  - подынтегральным выражением,  - подынтегральной функцией.

Если  - одна из первообразных для , то согласно сказанному

,                        (3)

где  - соответствующим образом подобранная постоянная.

Операцию нахождения неопределенного интеграла будем называть интегрированием функции . Она противоположна операции дифференцирования  - нахождения производной.

Отметим, что если  есть первообразная для функции , то подынтегральное выражение  является дифференциалом первообразной .

Позже мы докажем (см. § 6.3), что если  непрерывна на , то для нее существует первообразная на , а следовательно, и неопределенный интеграл.

Отметим ряд свойств неопределенного интеграла, вытекающих из его определения.

. . В самом деле, , отсюда .

. , т. е. и  также взаимно сокращаются, но к  нужно добавить некоторую постоянную . Имеем  .

. , где  - постоянное число,  - некоторая постоянная.

.  , где  - некоторая постоянная.

В самом деле,

.

С другой стороны,

.

Таким образом, функция  и функция  являются первообразными для одной и той же функции . Но тогда они отличаются на некоторую постоянную , что и написано в равенстве .

. Если  есть первообразная для , то

.

В самом деле,

.

Запишем таблицу интегралов, вытекающую из основных формул дифференциального исчисления.

1. .

2. .

3. , на интервале, не содержащем .

4. .

5. .

6.  на интервале, где подынтегральная функция непрерывна.

7. .

8. .

9. .

10. .

11. ,

.

12.  .

Слева в каждом равенстве стоит произвольная (но определенная) первообразная функция  для соответствующей подынтегральной функции, справа же – одна определенная первообразная, к которой еще прибавляется константа  такая, чтобы выполнялось равенство между этими функциями.

Докажем формулу 3. Так как при   и , то

,

и формула 3 доказана.

Докажем еще формулу 11:

,

и формула 11 доказана.

С другой стороны, , поэтому по теореме 2  . Но так как , то  (см. § 4.6, п. 9).

Применяя свойство , можно написать более сложную таблицу интегралов. Например:

.

Отметим, что если операция дифференцирования элементарных функций снова приводит к элементарным функциям, то операция интегрирования уже может привести к неэлементарным функциям, т. е. функциям, которые не выражаются через конечное число арифметических операций и суперпозиций элементарных функций.

Например, доказано, что следующие интегралы не интегрируются в элементарных функциях:

Указанные интегралы хотя и существуют, но не являются элементарными функциями. Имеются и другие способы для их вычисления. Например, интегральный синус можно представить в виде бесконечного степенного ряда (см. § 4.16)

.