§ 1. Постановка задачи приближения функций

Иногда возникает следующий вопрос. Может быть, наличие большого количества различных способов приближения объясняется просто отсутствием научного подхода к постановке и решению проблемы; если бы такой подход был, то, может быть, удалось бы предложить один оптимальный способ приближения, пригодный во всех случаях? Такой вопрос возникает и при рассмотрении других разделов численного анализа. Сколь бы ни было заманчиво разработать единый подход к решению всех задач, следует все-таки признать, что многообразие методов вызывается существом дела — многообразием различных постановок проблемы. В частности, различные теоретические разделы теории приближений, например интерполяции, можно рассматривать как изучение абстрактных моделей некоторых реальных классов проблем.

1. Простейшая задача, приводящая к приближению функций, заключается в следующем. В дискретные моменты времени наблюдаются значения функции требуется восстановить ее значения при других . Подобная задача возникает, в частности, в следующей обстановке. По ходу вычислений на ЭВМ приходится многократно вычислять одну и ту же сложную функцию в различных точках. Вместо ее непосредственного вычисления иногда целесообразно вычислить ее значение в отдельных выбираемых нами по своему усмотрению точках, а в других точках вычислять по каким-либо простым формулам, используя информацию об этих известных значениях.

Иногда из каких-то дополнительных соображений известно, что приближающую функцию целесообразно искать в виде

Если параметры определяются из условия совпадения и приближающей функции в точках , так называемых узлах интерполяции,

то такой способ приближения называют интерполяцией или интерполированием.

2. Пусть — наименьшее из чисел — узлов интерполяции, а - наибольшее из них. Если точка , в которой вычисляется значение , лежит вне отрезка то наряду с термином интерполяция употребляют термин экстраполяция.

Например, известно поведение какой-либо переменной до данного момента времени и требуется высказать какое-то суждение о ее дальнейшем поведении. Это может быть температура, рост производства или потребления какого-либо продукта, рост народонаселения, урожайности и т. п. Задаются какими-то моментами времени, строят интерполирующую функцию и ее значение в какой-то будущий момент принимают за прогнозируемое (экстраполируемое) значение искомой величины.

Если узлы интерполяции выбраны далеко от момента времени, где приближается функция, то тем самым слабо используется существенная информация о поведении переменной в последнее время. Если они выбраны очень близко, то увеличивается роль погрешностей в используемой информации. Таким образом, вопрос о выборе узлов интерполяции и экстраполяции непрост, особенно в задачах, где значения исследуемой функции зависят от многих случайных или трудно учитываемых факторов. Сюда относятся задачи прогноза погоды, урожайности, медицины и т.д., в которых, как правило, требуется применять более сложные (в частности статистические) методы прогнозирования.

3. Наиболее часто используется рассматриваемая ниже интерполяция многочленами. Однако это не единственный возможный вид интерполяции. Иногда удобнее приближать функции тригонометрическими полиномами; в других задачах целесообразнее приближать многочленом не , или приближать не многочленом от , а многочленом от .

Часто целесообразно использовать интерполяцию дробно-рациональными функциями

4. В задачах планирования экспериментов в биологии, физике, химии, географии, медицине и других областях науки возникает следующая проблема. Известен вид хорошего приближения функции, например функция хорошо приближается многочленом второй степени. В то же время измеряемые значения функции содержат большие погрешности. Требуется получить наилучшее в определенной норме приближение при минимальном числе измерений значений функции.

5. Задача приближения появляется при составлении стандартных программ вычисления элементарных и специальных функций. Обычно такие функции обладают свойствами, позволяющими резко уменьшить объем вычислений.

Возникающая здесь проблема может быть сформулирована следующим образом. Рассматриваются все функции , программа вычисления которых требует некоторого фиксированного объема памяти ЭВМ, такие, что некоторая норма погрешности не превосходит . Среди всех таких функций нужно выбрать ту, вычисление которой требует минимальных затрат времени ЭВМ.

В зависимости от обстоятельств норма может выбираться по-разному. В большинстве случаев берется , где — отрезок, на котором приближается функция.

Довольно часто требуется повышенная точность в отдельных точках. Например, одна из стандартных программ вычисления обеспечивает малость погрешности в норме

Введение множителя вызывается требованием малости относительной погрешности значений при малых .

Точно так же по-разному может толковаться требование минимальности затрат процессорного времени ЭВМ. Затраты, вообще говоря, могут зависеть от точки, в которой вычисляется значение функции. Обозначим их через . Если не имеется информации о том, с какой частотой вычисляются значения функции в тех или иных частях отрезка, то, например, можно в качестве общей меры затрат принять

Если такая информация есть, то можно принять

где — математическое ожидание случайной величины .

6. При задании функции графиком или сложным аналитическим выражением возникают вариационные задачи других типов. Например, пусть решено разбить отрезок на частей:

и на каждом отрезке приближать функцию многочленом степени . Среди таких способов приближения отыскивается оптимальный в том или ином смысле. Чаще всего заранее накладывается требование , фиксируется число отрезков разбиения и проводится оптимизация метода по .

В частном случае возникает задача наилучшего приближения многочленами. Об этой задаче речь пойдет в гл. 4.

7. Вид приближающей функции существенно зависит от цели, с которой осуществляется приближение. Предположим, что с требуемой точностью функция может быть приближена многочленом десятой степени или выражением . Если полученное приближение используется в теоретических исследованиях, для решения задачи на моделирующем устройстве или в технологическом процессе, то вторая форма записи может быть более удобной. Однако если значения функции вычисляются на ЭВМ, то вторая форма записи может потребовать при своей реализации большего числа арифметических операций.

Далее будет конкретно рассмотрена задача интерполирования многочленами. Ее выделение вызвано наличием непосредственных многочисленных приложений, а также и следующими обстоятельствами:

аппарат интерполирования многочленами является важнейшим аппаратом численного анализа; на его основе строится большинство методов решения других задач; его роль в численном анализе аналогична роли формулы Тейлора в классическом анализе.

Попутно будут рассмотрены некоторые другие вопросы общего характера, имеющие значение для других разделов численного анализа.