§ 16. О вычислительной погрешности формул численного дифференцирования

При решении одной задачи управления имела место следующая ситуация. Управление объектом выбиралось в зависимости от его скорости движения в данный момент; скорость вычислялась по простейшей формуле численного дифференцирования как отношение приращения координат к промежутку времени между двумя последовательными моментами измерения положения объекта.

Перед непосредственным конструированием системы было произведено подробное моделирование ее работы с помощью ЭВМ: координаты объекта брались со случайными погрешностями измерения и т.д.

Численные эксперименты показывали, что объект должен все время резко менять направление движения и требуемое управление движением нереализуемо. Однако уменьшение промежутка , не приводило к улучшению дела. В данном конкретном примере проблема была решена путем увеличения промежутка в 100 раз по сравнению с предполагавшимся заранее. Попутно это привело к снижению стоимости управляющей системы.

Дело заключается в том, что часто уменьшение погрешности метода, в данном случае формулы численного дифференцирования, сопровождается ростом влияния погрешности исходных данных и вычислительной погрешности. Численное дифференцирование относится к таким задачам, где влияние этих погрешностей сказывается уже при умеренных значениях погрешности метода решения задачи.

Рис. 2.16.1

Пусть для определенности значение определяется из соотношения

Согласно (15.4) остаточный член этой формулы имеет вид

Пусть , тогда .

Если значения функции известны с некоторыми погрешностями , то погрешность будет содержать дополнительное слагаемое

Для простоты пренебрежем округлениями при реальном вычислении правой части (1). Тогда имеем оценку погрешности

Для малости погрешности необходима малость h, но при уменьшении h растет второе слагаемое (рис. 2.16.1).

Из уравнения получаем точку экстремума для :

затем значение

Таким образом, ни при каком h нельзя гарантировать, что погрешность результата будет величиной порядка .

Погрешности возникают вследствие погрешностей в задаваемых значениях функций, например, если функция определяется из измерений или вычисляется по некоторой приближенной формуле. Поскольку эти значения округляются дополнительно при вводе в машину, то следует считать, что , где - число разрядов. Таким образом, мы можем получить в лучшем случае с половиной верных разрядов.

В случае применения формул более высокого порядка точности положение несколько улучшается. Пусть производная вычисляется по формуле

с остаточным членом . Все рассмотренные выше формулы численного дифференцирования могут быть записаны в таком виде: в знаменателе — , а в числителе — коэффициенты порядка . Погрешность, являющаяся следствием погрешностей в правой части (3), оценивается величиной . Таким образом, вместо (2) мы имеем

Минимум правой части достигается при h порядка , при этом сама правая часть имеет порядок . Таким образом, с ростом порядок погрешности по отношению к Е повышается; при этом значение шага, соответствующее минимуму оценки погрешности, становится все больше. Конечно, следует иметь в виду, что величины и могут расти с ростом , поэтому увеличение разумно лишь в определенных пределах.

Иногда складывается обстановка, когда повышение точности формул численного дифференцирования не приводит к требуемому результату. Тогда применяются методы предварительного сглаживания исследуемой функции. Одна группа методов базируется на идеях математической статистики. За счет обработки большого числа наблюдаемых значений функции уменьшается случайная погрешность в ее значениях. Другая группа методов, получающая распространение в последнее время, использует идгаи регуляризации. О методах этой группы подробнее будет сказано в последующем.