§ 10. Постановка задачи оптимизации квадратур
Рассуждения § 9 показывают важность изучения различных постановок проблемы оптимизации методов на классах функций. Рассмотрим задачу вычисления интеграла
Область интегрирования Q и весовая функция 
предполагаются фиксированными. Класс рассматриваемых задач определим заданием класса F подынтегральных функций. Погрешностью квадратуры,
на классе F называют величину
где, как обычно,
Нижняя грань
называется оптимальной оценкой погрешности квадратур на рассматриваемом классе. Если существует квадратура, для которой 
, то такую квадратуру называют оптимальной или наилучшей на рассматриваемом классе.
В § 2 была получена оценка (2.4) погрешности квадратуры, точной для многочленов степени 
, через 
производную функции. Эта оценка является неулучшаемой (см. задачу 2.3). Таким образом, для классов функций
величина 
известна и задача построения оптимальной квадратуры сводится к нахождению коэффициентов и узлов, на которых достигается нижняя грань 
. Для ряда классов функций эту задачу удалось решить. Например, при 
такой квадратурой является составная формула прямоугольников
с оценкой погрешности
(Доказать!)
В настоящее время оптимальные квадратуры получены для небольшого набора классов функций, в основном одной переменной. Непосредственное значение этих квадратур для приложений невелико, однако это не значит, что не нужно заниматься построением таких квадратур.
Построение оптимальных квадратур и дальнейшее их развитие на случай большей гладкости и большего числа переменных оказались ценными не получением конкретных квадратурных формул, а выяснением качественной стороны вопроса: где какие методы лучше, на какую точность можно рассчитывать при использовании определенной информации о подынтегральной функции, какова плотность распределения узлов у «хорошей» квадратуры.
Пусть, например, при первоначальном анализе задачи мы решили воспользоваться информацией об ограниченности тгерной производной 
оценка погрешности (1) нас не устраивает, поскольку для достижения нужной точности 
требуется слишком большое число узлов: если 
, то 
. Оптимальность оценки (1) указывает на необходимость сужения класса рассматриваемых задач путем учета дополнительной информации о подынтегральной функции (ограниченность второй производной, тип особой точки подынтегральной функции, аналитичность и т.п.) или расширения множества используемых методов интегрирования.
