§ 15. Уточнение результата интерполяцией более высокого порядка точности

Если подынтегральная функция достаточно гладкая, то, как правило, погрешность квадратурной формулы может быть представлена в виде

где . Обычно при гладкой подынтегральной функции имеем , где или . Например, в предположении ограниченности погрешность формулы трапеций, согласно (13.2), представляется в виде

Предположим, что произведено вычисление при значениях . Мы имеем равенства

Образуем линейную комбинацию этих соотношений с некоторыми коэффициентами , потребовав, чтобы

Получим соотношение

Предположим, что выполняются равенства

тогда

Если величиной можно пренебречь, то

Система соотношений (2), (3) образует систему из линейных алгебраических уравнений с неизвестными, поэтому есть основания ожидать, что она имеет решение.

Аналогия между рассматриваемой задачей и задачей интерполяции позволяет найти в явном виде. Перепишем (1) в виде

Из соотношения (6) видно, что задача нахождения может формулироваться следующим образом. Заданы значения многочлена при требуется определить значение . Согласно интерполяционной формуле Лагранжа (гл. 2 § 2) имеем

поэтому

и, следовательно,

Мы получили соотношение (4) с выписанными явно значениями .

Применение описанного метода, иногда называемого методом Ромберга, может быть полезным в следующей ситуации. Пусть мы задались какой-то квадратурой, вычислили на ЭВМ и выдали на печать значения , но оказалось, что нужной точности еще не достигли. Тогда можно попытаться получить приближение к интегралу, применив правило Ромберга по некоторой совокупности значений .

Иногда применяют следующую процедуру численного интегрирования. Задаются некоторым числом и последовательно вычисляют приближенные значения интеграла по формуле трапеций при отрезках разбиения: . Удобнее всего вести вычисления по формуле

При каждом после вычисления последовательно вычисляют по рекуррентной формуле

Таким образом, последовательность вычислений определяется схемой

Вычисления значений обычно продолжают до тех пор, пока при некотором не окажется, что .

Как правило, метод Ромберга существенно уступает по эффективности квадратуре Гаусса и методам интегрирования с автоматическим выбором шага (см. § 17).

Задача 1. Показать, что есть результат применения правила Ромберга к значениям