§ 5. Процесс практической оценки погрешности и ускорения сходимости

Рассмотрим вопрос об оценке погрешности приближенного решения системы уравнений. Если — приближенное решение системы , а X — точное решение этой системы, то можно написать равенство

которое редко применяется из-за сложности оценки . Поэтому при практическом анализе погрешности приближений, получаемых итерационными методами, обычно вместо этой оценки используется рассматриваемая далее нестрогая, но более простая оценка погрешности, которая строится на основании дополнительной информации, получаемой в процессе вычислений.

Примем следующий критерий разумности практической оценки погрешности: принимается за практическую погрешность приближения , стремящегося к X при , если

Ясно, что тогда .

Рассмотрим метод простой итерации . Для краткости изложения ограничимся случаем, когда матрица В простой структуры (т. е. ее жорданова форма диагональна и поэтому она обладает полной системой собственных векторов).

Пусть — собственные значения матрицы В, занумерованные в порядке убывания , причем , а — соответствующие собственные векторы, образующие полную систему. Разложим вектор по базису . Тогда

Здесь и далее выражение имеет следующий смысл:

Далее в этом параграфе - это .

Укажем способ построения приближения к вектору на основании информации, получающейся в ходе вычислений. Согласно (2) имеем

Вычитая друг из друга соседние соотношения, получим

Отсюда

Положим

Воспользуемся соотношениями (4) и в предположении поделим числитель и знаменатель в выражении для на в результате получим

Поскольку

то

Поделив второе из соотношений (3) на , получим

Из (5), (6) следует ; поэтому

Отсюда и из (2) получаем

где . Заметим, что согласно (3), . Из этих равенств вытекает, что удовлетворяет критерию (1), и поэтому его можно принять за практическую погрешность приближения .

В случае проведенные рассуждения останутся в силе, если . Во всех соотношениях следует заменить лишь при на . Описанный способ получения оценки приближенного решения называется -процессом.

Если положить , то , и поэтому , вообще говоря, является лучшим начальным условием для последующих итераций по сравнению с . Производя время от времени такие уточнения, иногда удается существенно уменьшить общее число итераций.

Для справедливости приближенного равенства

(7)

необходимо, чтобы в правой части равенства

одно из слагаемых преобладало над остальными. Если это так, то векторы приблизительно пропорцпональны и

Таким образом, условие является необходимым для того, чтобы проводившиеся ранее построения были справедливы. Поэтому его можно принять за условие практической применимости (7).

Например, возможна следующая схема метода простой итерации с применением -процесса ускорения сходимости. Задаются некоторым в пределах и малым . Если по ходу итераций оказалось, что , то вычисляется и вектор принимается за начальное приближение для последующих итераций. Итерационный процесс прекращается, если и , где — требуемая точность.

Если очень мало, то условие будет выполняться только после большого числа итераций, ускорение сходимости не будет иметь места. При большом соотношения, положенные в основу наших построений, выполняются грубо, поэтому не исключено, что применение -процесса сходимости замедлит итерационный процесс. Картина итераций также осложняется наличием погрешности округлений, так что описанная выше схема требует практической отработки на большом числе примеров с целью выбора оптимальных и указания нижней границы значений , при которых алгоритм применим. Если однородный итерационный процесс подвергается перестройке (в нашем случае при переходе от к ), то иногда полезно проверить, не ведет ли эта перестройка к ухудшению. В качестве критерия целесообразности перестройки можно взять некоторое соотношение, связывающее нормы невязок для , например неравенство вида

Замечание о необходимости указания нижней грани значений вызывается следующим обстоятельством. Пусть для определенности . Уже при вычислении по заданному погрешности округления могут возмутить результат на величину с нормой порядка . Следствием этого может явиться возмущение , имеющее норму порядка . Отсюда следует, что в случае итерационный процесс может никогда не закончиться. Проведенные построения показывают, что при реализации метода возникает много таких моментов, разбор которых требует серьезной математической подготовки и проведения большой серии численных экспериментов. Поэтому, несмотря на «простоту» метода простой итерации, будет вполне оправданным создание стандартной программы этого метода.