§ 6. Обратная задача

Часто приходится решать обратную задачу: с какой точностью надо задать значения аргументов функции , чтобы погрешность у не превосходила заданной величины ?

Пусть точки и , соответствующие истинным и приближенным значениям параметров , принадлежат некоторой выпуклой области G и . Тогда имеем оценку погрешности

Любая совокупность абсолютных погрешностей, удовлетворяющих неравенству

обеспечивает требуемую точность.

Если функция у зависит только от одного аргумента , то имеем неравенство и для достижения требуемой точности достаточно взять .

В случае иногда рекомендуют отвести погрешности каждого аргумента равную долю, т.е. выбрать из условия , т.е. . В других случаях предлагают взять все оценки погрешностей равными, максимально возможными, т. е. положить

В простейших случаях можно последовать этим рецептам, однако в более сложных случаях целесообразно подойти к вопросу о выборе верхних границ для допустимых погрешностей аргументов более аккуратно. Дело заключается в том, что достижение определенной точности в задании аргумента может существенно зависеть от номера . Тогда следует ввести в рассмотрение функцию стоимости затрат на задание точки с заданными абсолютными погрешностями координат и найти минимум функции в области . Пусть он достигается в точке . Далее следует положить .

В ряде типичных случаев функция имеет вид

Ясно, что искомое минимальное значение функции достигается в некоторой точке , плоскости .

Рассмотрим случай . Составляем функцию Лагранжа

и, приравнивая нулю производные , получим систему уравнений

Отсюда

Подставляя в равенство , получим уравнение относительно :

Видно, что при . Пусть . Тогда при больших главным членом в левой части является первый; поэтому имеем приближенное равенство

откуда следует

Подставляя в (1), получим

Поскольку , то в рассматриваемом примере стоимость задания первого аргумента при малых растет быстрее, чем стоимость задания второго аргумента. В соответствии с этим мы получили, что второй аргумент следует задавать с точностью более высокого порядка малости по , в то время как точность задания первого аргумента практически определяется из равенства .

Различный характер зависимости функции стоимости от погрешностей задания аргументов может определяться многими факторами. Если, например, параметры определяются численным решением некоторых вспомогательных задач, то слагаемые характеризуют различную трудоемкость решения этих задач. В других случаях этот характер может определяться сложностью получения экспериментальных данных или трудностью достижения нужной точности тех или иных параметров в реальной конструкции.

Литература

1. Березин И. C., Жидков Н. П. Методы вычислений. Т. 1. — М.: Наука, 1966.

2. Крылов В. И., Бобков В. В., Монастырный П. И. Начала теории вычислительных методов. Интерполирование и интегрирование. — Минск: Наука и техника, 1983.

3. Крылов В. И., Бобков В. В., Монастырный П. И. Вычислительные методы. Т. 1. — М.: Наука, 1976.