§ 4. Оценки погрешности одношаговых методов

рассмотрим множество всевозможных методов интегрирования, где последовательно получаются приближения к значениям . Пусть в процессе численного интегрирования к фиксировано и при к значения определяются как значения некоторого функционала

Такой способ численного интегрирования называют k-шаговым. Все построенные выше способы интегрирования имеют следующее общее свойство: приближенное значение решения в следующей точке определялось только в зависимости от значения решения в предыдущей точке, следовательно, расчетные формулы, соответствующие этим способам, представимы в виде (1) со значением . Такие методы называются одно-шаговыми.

Рассмотрим специальный способ получения оценки погрешности, применимый лишь к одношаговым методам.

Запишем формулу (1) в виде

Получаемые в процессе реальных вычислений приближения к значениям связаны не соотношениями (2), а некоторыми соотношениями

Наличие слагаемого обусловлено следующими причинами:

1) округлением чисел при вычислениях;

2) погрешностями в значениях правой части эти погрешности вызваны тем, что рассматриваемая нами функция является некоторым приближением к правой части реального дифференциального Уравнения; кроме того, зачастую в процессе вычисления значений в ЭВМ эта функция приближается другими функциями, что вносит дополнительные погрешности при вычислениях значений правой части;

3) в некоторых случаях значение определяется из уравнения, эквивалентного (1), но не разрешенного в явном виде относительно переменной тогда величина содержит составляющую, являющуюся следствием приближенного решения этого уравнения.

Хотя погрешность вызвана не только округлением, ее часто называют вычислительной погрешностью на шаге.

Точно так же начальное условие отличается от значения отыскиваемого решения задачи из-за погрешности в определении исходных Данных и округлений. Пусть — искомое решение дифференциального уравнения, — решения, удовлетворяющие условиям (рис. 8.4.1).

Рис. 8.4.1

Погрешность можно представить в виде

Разность решений дифференциального уравнения в одной точке может быть выражена через их разность в другой точке следующим путем.

Лемма. Пусть — решения дифференциального уравнения , где — непрерывная и непрерывно дифференцируемая по переменной функция. Тогда

где заключено между . Доказательство. Вычтем друг из друга равенства

Согласно формуле Лагранжа разность может быть представлена в виде , где заключено между и . В результате получится линейное дифференциальное уравнение относительно

Функция

непрерывна, поскольку числитель и знаменатель — непрерывные функции, а знаменатель отличен от нуля. Из (5) следует утверждение леммы.

Пусть тогда вследствие леммы

где заключено между .

Точно так же

Теперь равенство (4) можно записать в виде

где .

Из (3) вытекает соотношение

где

Посмотрим, какой смысл имеет величина есть число, получаемое в результате вычислений по расчетной формуле (2), — значение в точке точного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего условию . Таким образом, есть погрешность одного шага рассматриваемого метода, если вычисления начинаются с точки и производятся без округлений, а шаг равен . Величина называется погрешностью метода на шаге.

Предположим, что при всех j, соответствующих рассматриваемому отрезку интегрирования , выполняется неравенство

Пусть

и

Загрубляя (7), имеем

При справедливы неравенства

Воспользовавшись этими неравенствами для оценки правой части (6), получим

Применим теперь к предыдущему неравенству оценку (8), получим

здесь . Из этого соотношения следует, что при если одновременно . Таким образом, при достаточно мелком шаге интегрирования и малой вычислительной погрешности приближенное решение, получаемое при употреблении метода Рунге—Кутта, близко к точному решению.

Часто решение дифференциального уравнения отыскивается на большом промежутке. Тогда в полученные оценки погрешности входит как множитель очень большое число . При большом может оказаться. что достижение нужной точности требует столь мелких шагов и столь малой величины вычислительной погрешности на шаге, что использование рассматриваемого метода будет нецелесообразно. Поэтому характеристика методов по признаку — сходится ли приближенное решение к точному при измельчении шага и при достаточно быстром уменьшении вычислительной погрешности или не сходится — является еще недостаточной.

Если , то в оценке (9) можно избавиться от множителя, резко растущего с увеличением X. Рассмотрим случай постоянного шага . Тогда

Пусть . Оценивая правую часть (6), получаем

Имеем

Таким образом, получаем окончательную оценку погрешности

Поскольку , то верна более простая по виду оценка

Формально эта оценка не зависит от длины промежутка интегрирования X, однако длина промежутка интегрирования может неявно влиять на значение коэффициента через оценки производных.

Наличие оценки (11), не ухудшающейся с увеличением промежутка интегрирования, позволяет использовать такие методы для отыскания, например, устойчивых решений дифференциальных уравнений путем установления. Начинаем численное интегрирование с произвольных начальных данных и с течением времени выходим на устойчивое решение. Этот прием часто употребляется при отыскании устойчивых предельных циклов систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

В связи с полученной оценкой (12) и возможностью получения аналогичной оценки для случая численного решения задачи Коши для систем дифференциальных уравнений с быстро сближающимися решениями одношаговые методы находят широкое применение в вычислительной практике. В то же время методы, для которых в подобной ситуации погрешность растет неограниченно, практически исчезли из употребления. Заметим, что в случае в соответствии с утверждением леммы решения расходятся с экспоненциальной скоростью, и поэтому погрешность любого метода должна неограниченно расти при .

Другим достоинством одношашвых методов является удобство изменения шага интегрирования и однотипность вычислений во всех расчетных точках (у конкурирующих с ними методов Адамса изменение шага интегрирования и начало вычислений производятся с помощью некоторых специальных формул, которые мы не рассматриваем из-за их громоздкости).