§ 7. Исследование свойств конечно-разностных методов на модельных задачах

После конструирования нового метода решения задачи, например метода решения дифференциальных уравнений, целесообразно, прежде чем писать программу, посмотреть, как будет работать этот метод на простейших модельных задачах, где точное и приближенное решения вычисляются в явном виде. Если для такой задачи метод дает неудовлетворительный результат, то от применения этого метода, скорее всего, стоит отказаться.

Часто первоначально конструируется не один метод, а некоторое семейство методов, зависящих от одного или нескольких параметров. Изучение модельного примера может позволить сравнить эти методы и выбрать оптимальные значения параметров. На примере решаемой в явном виде задачи можно понять реальную ситуацию, возникающую при реализации метода.

Такой подход часто более предпочтителен, чем подробное теоретическое исследование, поскольку дает большой выигрыш по времени.

Из формулы (6.4) можно находить значение , если известны значения поэтому, чтобы начать вычисления, нужно знать в к начальных точках могут быть найдены каким-либо образом заранее, например с помощью формулы Тейлора или методом Рунге—Кутта.

Рассмотрим вопрос о том, насколько влияют погрешности в начальных данных разностной задачи на ее решение.

Пусть - решения разностной задачи

при начальных данных соответственно. На основании формулы Лагранжа имеем

Здесь лежит между .

Вычтем из соотношения (1) при то же соотношение при . Получим уравнение относительно разности :

Оказывается, что довольно существенную информацию о поведении погрешности можно получить, рассматривая простейшее дифференциальное уравнение .

В этом случае (2) превращается в уравнение с постоянными коэффициентами

Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид

Пусть — максимальный по модулю из корней этого уравнения. Поскольку , то условие равносильно тому, что является корнем (4). Поэтому Сеточная функция является решением уравнения (4).

Пусть вещественно. Рассмотрим ситуацию, когда . Разность между значениями решений в начальных точках не превосходит , в то время как

экспоненциально растет с ростом числа шагов .

Таким образом, в случае малые возмущения начальных данных могут приводить к катастрофическому возмущению решения уже при не очень большом числе шагов.

Пусть невещественно; сеточные функции будут решениями уравнения (3). Поскольку

Таким образом, и в случае невещественного, , решение уравнения (1) может сильно исказиться при малом возмущении начальных данных.

Рассмотрим случай, когда все корни уравнения (4) не превосходят по модулю 1, но среди корней, по модулю равных 1, есть р-кратный корень . Для простоты проведем построения для случая вещественного. Сеточная функция соответствует возмущению начальных данных более чем на , в то время как в конце отрезка возмущение имеет порядок .

Такой степенной (по отношению к числу узлов) рост влияния возмущения начальных данных иногда является допустимым. Однако на примере модельного уравнения можно показать, что в случае р-кратного корня на границе единичного круга возмущение исходных данных сказывается более существенным образом. При все и уравнение (3) относительно является линейным разностным уравнением

Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид

Наложим ограничение

В противном случае разностное уравнение (1) записывается в виде

Рассмотрение таких уравнений не представляет интереса, поскольку решение более простого уравнения

также оказывается решением уравнения (5).

Предположим также, что Справедлива

Теорема (без доказательства). 1. Если , то среди корней уравнения (5) есть корень, удовлетворяющий неравенству

2. Если , то или при , или при среди корней уравнения (5) есть корень, удовлетворяющий неравенству

Таким образом, при или уравнению , или уравнению соответствует рост возмущения решения в

Возмущение решения растет быстрее любой степени числа шагов; такой рост возмущения уже при небольшом числе шагов также является недопустимым.

В связи со сказанным практически пригодными могут оказываться лишь схемы, удовлетворяющие следующему условию : все корни характеристического уравнения (4) лежат в единичном круге и на границе единичного круга нет кратных корней.

Можно было бы подумать, что все дело только в округлениях и погрешностях исходных данных: если бы их не было, то, может быть, решение конечно-разностной задачи сходилось бы к решению дифференциальной? На самом деле для любой разностной схемы, не удовлетворяющей условию , можно построить пример дифференциального уравнения с бесконечно дифференцируемой правой частью, для которого и при отсутствии округлений и погрешностей в исходных данных решение конечно-разностной задачи не стремится к решению дифференциальной при измельчении шага.

На первый взгляд может показаться целесообразным строить схемы с возможно большим порядком аппроксимации Однако оказывается, что все схемы с большим не удовлетворяют условию .

Теорема (без доказательства). В случаях: а) схема (6.4) явная, ; б) схема (6.4) неявная, нечетно, ; в) схема (6.4) неявная, четно, , среди корней характеристического уравнения (4) имеется корень, по модулю больший 1.

Далее будет показано, что при некоторых дополнительных условиях на погрешности начальных данных разностной задачи и вычислительную погрешность при выполнении условия а решение разностной задачи (1) сходится к решению дифференциальной задачи. Будет приведено выражение главного члена погрешности, из которого видно, что главный член ведет себя примерно одинаково для всех разностных схем одного и того же порядка точности, удовлетворяющих условию . Однако это не означает, что на практике они являются примерно эквивалентными.

Рассмотрим поведение решений двух разностных схем второго порядка аппроксимации:

на примере модельного уравнения . Разностные схемы (6), (7) порождают конечно-разностные уравнения

В первом случае решение уравнения для погрешности имеет вид

Это решение растет при . Это естественно, поскольку для дифференциальной задачи разность двух решений с различными начальными условиями записывается в виде

и также растет при . При как , так и убывают. Решение второго уравнения имеет вид , где — корни характеристического уравнения — , т.е. . Имеем . Здесь и далее мы пользуемся формулой Тейлора . Отсюда следует равенство . Таким образом, слагаемое соответствует решению разностного уравнения, ведущему себя качественно так же, как решение дифференциального уравнения. Аналогичным образом получаем

Имеем слагаемое ведет себя качественно иначе, чем решение дифференциального уравнения, и, что особенно существенно, оно возрастает по модулю при , в то время как точное решение убывает. Рассуждая так же, как выше, заключаем, что вычислительная погрешность может исказить решение на величину порядка . При и большом значении эта величина может оказаться недопустимо большой, особенно на фоне убывающего решения .

Поскольку расматриваемый метод дает неудовлетворительный результат для такой простейшей модельной задачи, его вряд ли можно рекомендовать для широкого употребления, тем более в стандартных программах численного интегрирования дифференциальных уравнений.

Мы отбраковали второй метод на примере задачи, где и величина недопустимо большая. В последние сорок лет в приложениях часто стали встречаться задачи с резкими переходными процессами, где решение существенно меняется на малом промежутке времени. Типичной модельной задачей является задача Коши для уравнения , где величина настолько велика, что число шагов порядка является недопустимым. Если при разумном числе Шагов по времени то использование первой из рассматриваемых разностных схем также может привести к неудовлетворительным результатам.

Для этой схемы имеем

Таким образом, решение разностного уравнения имеет вид

и существенно отличается от точного решения дифференциальной задачи например, при (решение разностного уравнения по модулю близко к 1, а решение дифференциального уравнения мало).

В качестве итога проводимого выше анализа свойств первого метода можно заключить, что этот метод применим для решения довольно широкого круга задач. В то же время существуют определенные типы задач, называемые жесткими (моделируемые случаем очень велико), в которых к применению этого метода нужно отнестись с определенной осторожностью. Для решения таких задач разработаны специальные методы (см. § 9).