§ 8. Аппроксимации специального типа

Рассмотрим краевую задачу

где — трижды, — дважды непрерывно дифференцируемые функции, за исключением конечного числа точек, где эти функции или их производные могут иметь разрывы первого рода.

Пусть К, Р, F — множества точек разрыва соответственно функций или их производных, .

В случае уравнений с разрывными коэффициентами или решениями иногда не ясно, как понимать уравнение в точках разрыва.

Для решения этого вопроса следует обратиться к интегральным соотношениям, обычно называемым законами сохранения, из которых были получены рассматриваемые дифференциальные уравнения. Уравнение (1) с разрывным обычно возникает из интегрального соотношения

которое выполнено для любых . Если , то левая часть стремится к нулю; переходя к пределу в правой части, получаем, что

Исходя из этого соотношения, решением задачи (1) будем называть функцию , удовлетворяющую следующим условиям:

1) непрерывна на ;

2) удовлетворяет уравнению всюду на за возможным исключением точек множества ;

3) функция , называемая потоком, непрерывна на .

Из условия 3) следует, что функция непрерывна всюду, за исключением точек разрыва функции к в этих точках будет иметь разрывы первого рода. Рассмотрим сначала равномерную сетку. При целых и полуцелых будем употреблять обозначение далее .

Можно показать, что такое решение существует, а производные и непрерывны и равномерно ограничены на множестве .

Если при построении разностной схемы не учитывается факт разрывности , то может случиться, что решение разностной задачи не сходится к решению задачи (1). Например, такая ситуация возникнет, если раскрыть скобки в первом слагаемом

и аппроксимировать его выражением

Дело в том, что хотя в области гладкости коэффициентов погрешности аппроксимации порядка , но условие 3) не учтено при построении схемы.

Рассмотрим другую аппроксимацию:

Можно показать, что решение соответствующей разностной задачи

сходится к решению дифференциальной со скоростью . В то же время оказывается, что в случае, когда один из интервалов содержит точку разрыва функции , погрешность аппроксимации в точке имеет порядок .

Проверим последнее утверждение и объясним, почему оно не противоречит факту сходимости со скоростью . Погрешность аппроксимации записывается в виде

где

Положим поскольку и производная равномерно ограничены на , то величина равномерно ограничена по и .

Если производная ограничена на , то

Соотношение (4) записывается в виде

Положим

если величина ограничена, то . Окончательное выражение погрешности аппроксимации имеет вид

Рассмотрим случай, когда на имеется точка разрыва коэффициента тогда для не удается получить оценки лучшей, чем , а для — лучшей чем . Тем не менее погрешность решения имеет порядок . Наглядно это можно объяснить следующим образом. Точек, где имеет порядок , конечное число; их доля в общем числе узлов порядка , поэтому суммарный вклад от погрешности аппроксимации в таких точках будет .

Значение входит в выражение погрешности аппроксимации следующим образом:

Поэтому дает вклад в погрешность аппроксимации в точке , равный , а в точке — равный . Погрешность решения записывается в виде (см. § 2)

Можно показать, что сеточная функция Грина удовлетворяет условию , где постоянная не зависит от h. Вследствие этого вклад от величины есть

Из последних соотношений следует, что .

Приведенные выше соображения подтверждают широко распространенное эмпирическое правило: при построении разностных схем не следует зря раскрывать скобок и пользоваться формулой дифференцирования произведения.

Построим более точную разностную схему исходя из закона сохранения (2). Имеем равенство, которое следует из (2) в результате интегрирования в пределах от :

Так как функция кусочно-дифференцируема, то

Поэтому (6) можно переписать в виде

здесь

После деления на , получится соотношение

В случае, если интервал содержит точки разрыва , погрешность от непосредственной замены выражения может оказаться величинои порядка .

Для получения лучшей аппроксимации введем в рассмотрение вспомогательную независимую переменную . Из ограниченности производной по и равенства следует ограниченность производной по t. Функция имеет ограниченную производную по , а следовательно, и по . Таким образом, вторая производная ограничена и можно написать равенство

здесь

Поэтому

После подстановки в левую часть получим

где

Соответствующая конечно-разностная схема (предложенная Самарским и Тихоновым) имеет вид

Максимум погрешности аппроксимации у полученной схемы есть , поэтому для получения оценки погрешности привлекается ряд дополнительных соображений.

Если отрезок не содержит точек , то непосредственной проверкой с помощью разложения в ряд Тейлора устанавливается, что погрешность аппроксимации есть . В противном случае погрешность аппроксимации представляется в виде

где

Если не содержит точек , то разложением в ряд Тейлора устанавливаем, что если не содержит точек , то так же устанавливаем, что в противоположных случаях удается получить лишь оценки

Далее, следуя намеченному выше способу оценки с помощью аппарата функции Грина, можно получить оценку

Ниже будет получена другая оценка погрешности. Из равенств (8) и (9) следует, что

здесь — погрешность приближенного решения. Пусть — сеточная функция, удовлетворяющая, как и , условию

Умножим (10) на и просуммируем в пределах от 1 до :

(11)

Воспользовавшись выражением (9) для , перепишем это равенство в виде

где

Собрав в выражении подобные члены при одинаковых слагаемых , получим

Заметим, что в правой части дописаны слагаемые равные нулю в силу условия .

То же самое выражение для можно было бы получить, применяя разностную формулу Абеля суммирования по частям:

Точно так же получим

Подставим в ; имеем

Поэтому из (12) получаем

Из (7) следует, что , поэтому

При выражение обозначают как .

Очевидно, что оно является сеточным аналогом нормы в пространстве С. Л. Соболева функций, удовлетворяющих условиям , с нормой

Нормы

являются сеточными аналогами норм пространств соответственно. Теорема (сеточная теорема вложения).

Справедливость первого утверждения непосредственно следует из определения норм и цепочки неравенств

Пусть — точка, где достигается наибольшее значение . Рассмотрим случай случай сводится к рассматриваемому введением нового индекса . Имеем равенство

Воспользовавшись неравенством для скалярного произведения

получим

Теорема доказана.

Из (17), (18) следует, что

Воспользовавшись (13), получаем оценку

Точно так же с учетом (15) имеем

Таким образом, из (16) следует

поэтому

Величина порядка за возможным исключением конечного числа , соответствующих отрезкам , имеющим общие точки с ; для этих точек . Отсюда следует оценка .

Точно так же выводится, что

Таким образом, , а следовательно, согласно теореме вложения и , есть . Напомним, что на самом деле .

При использовании схемы (8) вычислительный процесс не зависит от положения точек разрыва. Поэтому ее относят к классу однородных схем.

Схема (8) на первый взгляд обладает следующим неудобством. Ее коэффициенты записываются как некоторые интегралы. На самом деле можно показать, что если погрешность в значениях этих коэффициентов есть , то погрешность приближенного решения оказывается также . Поэтому если интервал не содержит точек разрывов коэффициентов , то без потери порядка точности можно заменить на на на .

В ряде случаев построение разностных схем путем непосредственной аппроксимации производной разностным отношением приводит к недостаточно эффективным разностным схемам. Иногда бывает удобно в окрестности каждого расчетного узла приблизить рассматриваемое уравнение дифференциальным уравнением, интегрируемым в явном виде, и построить разностную схему, точную для его решений.

Рассмотрим дифференциальное уравнение

где малое число; для определенности сначала предполагаем . В случае решения этого уравнения колеблются с периодом , т.е. очень сильно. Характерный размер изменения решения имеет порядок , поэтому если не использовать специфику данного уравнения, то для получения высокой точности необходимо выполнение довольно обременительного условия .

В окрестности каждого узла рассматриваемое уравнение близко к уравнению . Общее решение этого уравнения записывается в виде

— произвольные константы. Найдем схему вида

точную на всех решениях вида (21). Для этого подставим (21) в соотношение (22). Получим

Чтобы это равенство выполнялось при всех , необходимо и достаточно равенства нулю коэффициентов при и свободного члена. Приравняем их к нулю:

(23)

Полагая , получим

Общее решение системы (23) пропорционально полученному частному решению. Умножим все коэффициенты на . Тогда получим схему

Это соотношение мы примем за разностное уравнение, соответствующее узлу . Такая нормировка схемы (24) является наиболее естественной: если вместо подставить в (24) значение и при фиксированном устремить к 0, то в пределе получится исходное дифференциальное уравнение

Все приведенные выше построения имеют смысл независимо от знака , при в окончательной расчетной формуле имеем

В случае расчетная формула (24) переписывается в виде

То, что эта формула является точной на решениях уравнения (20) при , можно было бы усмотреть из известной формулы тригонометрии

подставив в нее

— произвольное число.

Расчетная формула (25) иногда используется для быстрого вычисления таблицы значений или на равномерной сетке с невысокой точностью. Необходимость в этом может возникнуть, если, например, решается дифференциальное уравнение с правой частью, содержащей значения или , и вычисление их значений составляет существенную долю от затрат на вычисление правой части. Заметим, что суммарная вычислительная погрешность при вычислении значений по этим формулам имеет порядок ( — погрешность округлений).

Рассмотрим уравнение

решения которого могут обращаться в бесконечность. При аналитической функции решения аналитичны в комплексной плоскости в окрестности вещественной оси и иногда представляет интерес найти значения решения уравнения (26) в некоторой точке вещественной оси, отделенной от исходной несколькими полюсами. Один из возможных путей — это численное интегрирование (26) вдоль некоторой кривой, обходящей особые точки. Другой путь — это построение разностных схем, имеющих высокую точность на особенностях решения.

На отрезке уравнение (26) приблизим уравнением

При общее решение уравнения имеет вид . Воспользуемся формулой

при и тем, что . Получим равенство

Отсюда получаем расчетную формулу для исходного уравнения

За счет некоторого понижения точности ее можно упростить, воспользовавшись приближенным равенством , получим

Обе расчетные формулы (27) и (28) позволяют получить приближение к решению и после прохождения полюсов, если только случайно не оказалось, что расстояние от одного из узлов до ближайшего полюса много меньше, чем . Этого всегда можно избежать, распорядившись выбором шагов вблизи полюса.

Как примеры расчетных формул подобного рода можно рассматривать рекуррентные формулы метода прогонки (4.9), (4.10).