Глава 11. Численные методы решения интегральных уравнений

В этой главе мы дадим краткое описание алгоритмов решения интегральных уравнений, не вникая подробно в вопросы оценки погрешности.

Задача решения интегральных уравнений возникает как вспомогательная при решении краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными и как самостоятельная при исследовании работы ядерных реакторов, при решении так называемых обратных задач геофизики, при обработке результатов наблюдений и т. п. Мы ограничимся рассмотрением случая интегральных уравнений с одной неизвестной функцией и одной независимой переменной.

§ 1. Решение интегральных уравнений методом замены интеграла квадратурной суммой

В теории численных методов решения интегральных уравнений рассматриваются следующие типичные задачи. Найти решение интегрального уравнения Фредгольма первого рода

интегрального уравнения Фредгольма второго рода

интегрального уравнения Вольтерра первого рода

интегрального уравнения Вольтерра второго рода

и задачи на собственные значения

В последнем случае ищутся числа , при которых задача (5) имеет ненулевое решение.

Воспользуемся какой-либо формулой численного интегрирования

где , вообще говоря, зависят от . Имеем равенство

где - остаточный член квадратурной формулы (6).

Рассмотрим для примера уравнение Фредгольма второго рода (2). С помощью соотношения (7) его можно переписать в виде

остаточный член при вычислении интеграла с помощью квадратуры (6) является функцией переменной . Полагая в , получим систему уравнений

Отбрасывая остаточный член, приходим к системе линейных алгебраических уравнений

Для решения этой задачи могут быть применены стандартные методы решения систем линейных алгебраических уравнений.

Будем рассматривать случай вещественных . Обратим внимание на следующее обстоятельство. Если ядро интегрального оператора G симметрично , то оператор , входящий в левую часть исходного уравнения (2), также симметричен.

Однако матрица системы уравнений (9) не обязательно будет симметричной. Мы видели ранее, что решение систем уравнений с симметричной матрицей в определенном смысле предпочтительнее решения системы уравнений с несимметричной матрицей: шире класс точных и итерационных методов, которые могут быть применены для решения таких систем.

Систему уравнений (9) можно преобразовать к виду, в котором матрица системы будет симметричной. Для этого умножим уравнение системы (9) на получим систему уравнений

уже с симметричной матрицей.

Другой возможный способ симметризации состоит в следующем. Умножим уравнение в (9) на и положим . Получим систему уравнений

В случае второй способ симметризации является более предпочтительным, поскольку разброс собственных значений у матрицы системы (11), как правило, меньше, чем у матрицы системы (10). Заметим, что в случае, когда в квадратуре (6) все веса одинаковы:

необходимость в таких симметризациях отпадает.

Задача 1. Рассмотреть случай комплексного самосопряженного ядра . Проверить, что в этом случае при использовании описанных способов получается система уравнений с самосопряженным ядром.

Конечно, как и в случае решения произвольных систем линейных алгебраических уравнений, при использовании методов Гаусса или квадратного корня в процессе вычислений может возникнуть операция деления на нуль или переполнение.

Задача 2. Рассмотреть случай формулы прямоугольников, когда выполнено соотношение (12), и постоянного ядра

Применить для решения системы (9) метод исключения Гаусса при естественном порядке исключения неизвестных . Показать, что при в ходе исключения по методу Гаусса (§ 6.1) абсолютные величины всех встречающихся элементов - равномерно ограничены сверху некоторой постоянной , зависящей только от и не зависящей от :

Показать, что

Задача 3. Показать, что при условии

при решении системы (9) методом Гаусса всегда

При расмотреиии задачи на собственные значения (5) при аппроксимации интеграла квадратурной суммой (6) возникает алгебраическая задача на собственные значения:

Для ее решения могут быть применены стандартные методы решения задач на собственные значения.

В случае и симметричного ядра , как и выше, задачу на собственные значения можно преобразовать в задачу на собственные значения для симметричной матрицы с помощью введения новых переменных .

Задача 4. Пусть все и среди них есть ненулевые. Доказать, что максимальное по модулю собственное значение задачи (14) положительно. Доказать, что среди собственных векторов, соответствующих этому собственному значению, имеется вектор, у которого все компоненты неотрицательны.

Указание. Один из возможных путей решения задачи заключается в рассмотрении итерационного процесса (гл. 6)

нахождения собственного вектора при начальном условии с положительными компонентами .

Интегральное уравнение Вольтерра второго рода (4) можно записать в виде

с ядром и применить описанный выше алгоритм решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода.

Однако на таком пути мы можем получить методы с плохой сходимостью при : погрешность квадратурной формулы (6) может оказаться большой, поскольку при подынтегральная функция равна нулю и на всем отрезке разрывна (если ) или не обладает высокой гладкостью.

Поэтому целесообразнее поступить следующим образом. Зададимся каким-либо набором точек . Выпишем соотношения

и для вычисления интегралов

применим какие-либо квадратурные формулы достаточно высокой точности, использующие значения подынтегральной функции в точках . Если при вычислении интеграла используются значения подынтегральной функции лишь в точках , то матрица системы уравнений (9) будет левой треугольной и отыскание решения системы (9) существенно упростится.

Рассмотрим следующую схему решения задачи (4). Пусть дифференцируемы раз. Можно показать, что тогда решение также раз дифференцируемо. Положим . Для вычисления интегралов применим формулу Грегори с порядком точности . Такие формулы определены при . При для вычисления этих интегралов применим какие-либо квадратурные формулы по узлам с точностью порядка или . В итоге получим систему уравнений (9), у которой выше главной диагонали ненулевые элементы могут находиться только в первых строках и столбцах. Решаем систему из первых уравнений системы (9) относительно неизвестных затем находим остальные , решая систему уравнений с левой треугольной матрицей.

Если ядро и правая часть — аналитические функции, то иногда целесообразнее использовать идею широко известного метода Батчера решения дифференциальных уравнений. В этом случае получится система уравнений с полностью заполненной матрицей, но при этом погрешность решения убывает как .

Если то дифференцируя по уравнение Вольтерра первого рода (3), мы сведем его решение к решению интегрального уравнения Вольтерра второго рода